Шестигранная головка болта представляет собой правильный шестиугольник со стороной \(\displaystyle 5\)мм. Найдите минимальный диаметр кругового отверстия, через которое можно протянуть болт.
Шестигранная головка болта – правильный шестиугольник со стороной \(\displaystyle 5\)мм. Минимальное круговое отверстие, через которое можно протянуть болт, – описанная окружность этого шестиугольника. Тогда нам известна сторона правильного \(\displaystyle 6\)-угольника. И необходимо найти диаметр его описанной окружности. |  |
Воспользуемся формулой, связывающей сторону и радиус описанной окружности правильного многоугольника:
Если \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности правильного \(\displaystyle n\)-угольника, а \(\displaystyle a_n\) – длина его стороны, то
\(\displaystyle a_n=2R\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Подставляя \(\displaystyle n=6\) и \(\displaystyle a_6=5\small,\) получаем:
\(\displaystyle 5=2R\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{6}\right)=2R\cdot\sin30^{\circ}=R\small.\)
То есть радиус описаннной окружности равен \(\displaystyle R=5\)мм, тогда диаметр описанной окружности равен:
\(\displaystyle D=2R=2\cdot5=10\)мм.
Ответ: \(\displaystyle D=10\)мм.