Шестиугольная плитка имеет сторону \(\displaystyle 15\)см. Площадь площадки \(\displaystyle 8{,}1\)м2. Сколько потребуется плиток, чтобы покрыть всю площадку?
Ответ округлите вверх. Запас не учитывайте.
Чтобы решить задачу, сначала найдем площадь одной плитки, затем найдем сколько нужно плиток для покрытия площадки.
\(\displaystyle S_{плитки}=\frac{675\sqrt{3}}{2}\)см2
Чтобы воспользоваться формулой нахождения площади правильного многоугольника, необходимо знать:
- сторону многоугольника,
- радиус вписанной окружности многоугольника.
Найдем радиус вписанной окружности.
Сначала воспользуемся формулой связи стороны и радиуса описанной окружности многоугольника:
\(\displaystyle a_n=2R\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Подставляя \(\displaystyle n=6\) и \(\displaystyle a_6=15\)см, получаем:
\(\displaystyle 15=2R\sin30^{\circ}=R\small.\)
То есть радиус описанной окружности
\(\displaystyle R=15\)см.
Находим радиус вписанной окружности:
\(\displaystyle r=R\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)=15\cdot\cos30^{\circ}=\frac{15\sqrt{3}}{2}\)см.
Периметр шестиугольника равен \(\displaystyle P=6\cdot a_6=90\small,\) тогда
\(\displaystyle S=\frac{Pr}{2}=\frac{90\cdot\frac{15\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{675\sqrt{3}}{2}\)см2.
2. Чтобы узнать, сколько нужно плиток для покрытия площадки:
- приведем площади площадки и плитки к одним единицам измерения,
- поделим площадь площадки на площадь одной плитки,
- оценим результат.
Переведем площадь площадки в квадратные сантиметры:
\(\displaystyle 8{,}1\,м^2=8{,}1\cdot100\cdot100\,см^2=81000\,см^2\small.\)
Чтобы найти необходимое число плиток, поделим площадь площадки на площадь одной плитки:
\(\displaystyle 81000:\left(\frac{675\sqrt{3}}{2}\right)=80\sqrt{3}\small.\)
То есть понадобится \(\displaystyle 139\) плиток.
Ответ: \(\displaystyle 139\) плиток.