В сентябре \(\displaystyle 2024\)года Иван Иванович решил взять в кредит \(\displaystyle 546\) тыс рублей на \(\displaystyle 3\) года на следующих условиях:
- каждый январь долг возрастает на \(\displaystyle 20 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по август каждого года необходимо выплатить часть кредита одним платежом;
- к сентябрю \(\displaystyle 2027\) года кредит должен быть полностью выплачен (погашен).
Иван Иванович собирается погасить кредит тремя равными платежами. Найдите величину ежегодного платежа (ответ дайте в рублях).
рублей.
Пусть \(\displaystyle x\)рублей – величина ежегодного платежа.
Сумму долга (вкладчика перед банком) также будем рассматривать в рублях.
Для упрощения записи введём переменную \(\displaystyle S\) – начальная сумма долга (величина взятого кредита):
\(\displaystyle S=546\)тыс. рублей \(\displaystyle =546000\)рублей.
Посмотрим, как изменяется сумма долга за \(\displaystyle 3\)года.
Все данные последовательно будем последовательно вносить в таблицу.
Получаем таблицу:
| Год | Долг на начало периода, руб. | Долг с процентами, руб. | Выплата, руб. |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle 1{,}2S\) | \(\displaystyle x\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 1{,}2S-x\) | \(\displaystyle 1{,}2(1{,}2S-x)\) | \(\displaystyle x\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 1{,}2(1{,}2S-x)-x\) | \(\displaystyle 1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)\) | \(\displaystyle x\) |
Видим, что
- с одной стороны, долг на конец третьего года составит \(\displaystyle 1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)-x\)рублей;
- с другой стороны, к этому моменту кредит должен быть полностью погашен, то есть величина долга составит \(\displaystyle 0\)рублей.
Получаем уравнение:
\(\displaystyle 1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)-x=0{\small .}\)
\(\displaystyle 3{,}64x=1{,}2^3S{\small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x=\frac{1{,}728S}{3{,}64}{\small .}\)
Подставим \(\displaystyle S=546000\) и найдём \(\displaystyle x{\small :}\)
\(\displaystyle x=\frac{1{,}728 \cdot 546000}{3{,}64}{\small .}\)
\(\displaystyle x=259200{\small .}\)
Заметим, что в данном случае удобнее вести вычисления в обыкновенных дробях.
Так как \(\displaystyle 1{,}2=\frac{6}{5}{\small ,}\) уравнение примет вид:
\(\displaystyle \frac{6}{5} \left(\frac{6}{5}\left(\frac{6}{5}S-x \right)-x\right)-x=0{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{91}{25} x=\frac{216}{125} S{\small .}\)
\(\displaystyle x=\frac{216\cdot S}{5 \cdot 91} {\small .}\)
Подставим \(\displaystyle S=546000\) и найдём \(\displaystyle x{\small :}\)
\(\displaystyle x=\frac{216\cdot 546000}{5 \cdot 91} =\frac{216\cdot 6000}{5}=216\cdot 1200=259200{\small .}\)
Значит, величина ежегодного платежа по кредиту составляет \(\displaystyle 259200{\small }\)рублей.
Ответ: \(\displaystyle 259200{\small }\)рублей.