Skip to main content

Теория: 10 Задачи на банковские кредиты

Задание

В сентябре \(\displaystyle 2025\)года  Иван Иванович решил взять кредит на \(\displaystyle 3\) года на следующих условиях:

  • каждый январь долг возрастает на \(\displaystyle 20 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по август каждого года необходимо выплатить часть кредита одним платежом;
  • к сентябрю \(\displaystyle 2028\) года кредит должен быть полностью выплачен (погашен).

Какую сумму Иван Иванович взял в кредит, если он планирует погасить кредит тремя равными платежами по \(\displaystyle 259200\)рублей? Ответ дайте в тысячах рублей.

тыс. рублей.

Решение

Пусть

  • \(\displaystyle S\)рублей – величина взятого кредита;
  • \(\displaystyle x=259200\)рублей – величина ежегодного платежа.


Посмотрим, как изменяется сумма долга за \(\displaystyle 3\)года.

Все данные последовательно будем последовательно вносить в таблицу.

За первый год долг вырастет на \(\displaystyle 20 \%{\small ,}\) то есть увеличится в \(\displaystyle 1{,}2\)раза. После этого вкладчик внесёт в банк платёж в размере \(\displaystyle x\)рублей, уменьшив тем самым сумму долга на величину \(\displaystyle x{\small .}\)  

Те же действия повторятся за второй год

и за третий.

Получаем таблицу:

ГодДолг на начало периода, руб.Долг с процентами, руб.Выплата, руб.
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle S\)\(\displaystyle 1{,}2S\)\(\displaystyle x\)
\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 1{,}2S-x\)\(\displaystyle 1{,}2(1{,}2S-x)\)\(\displaystyle x\)
\(\displaystyle 3\)\(\displaystyle 1{,}2(1{,}2S-x)-x\)\(\displaystyle 1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)\)\(\displaystyle x\)


Видим, что

  • с одной стороны, долг на конец третьего года составит \(\displaystyle 1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)-x\)рублей;
  • с другой стороны, к этому моменту кредит должен быть полностью погашен, то есть величина долга составит \(\displaystyle 0\)рублей.

Получаем уравнение:

\(\displaystyle 1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)-x=0{\small .}\)

После раскрытия скобок и приведения подобных получим:

\(\displaystyle 1{,}2^3S=3{,}64x{\small ,}\)

откуда

\(\displaystyle S=\frac{3{,}64x}{1{,}2^3}{\small .}\)

Подставим \(\displaystyle x=259200\) и найдём \(\displaystyle S{\small :}\)

\(\displaystyle S=\frac{3{,}64\cdot 259200}{1{,}2^3}{\small .}\)

Получим:

\(\displaystyle S=546000{\small .}\)

Замечание / комментарий

Заметим, что в данном случае удобнее вести вычисления в обыкновенных дробях. 

Так как \(\displaystyle 1{,}2=\frac{6}{5}{\small ,}\) уравнение примет вид:

\(\displaystyle \frac{6}{5} \left(\frac{6}{5}\left(\frac{6}{5}S-x \right)-x\right)-x=0{\small .}\)

После раскрытия скобок и приведения подобных получим:

\(\displaystyle \frac{216}{125} S=\frac{91}{25} x{\small .}\)

Выразим \(\displaystyle S{\small :}\)

\(\displaystyle S=\frac{455x}{216} {\small .}\)

Подставим \(\displaystyle x=259200\) и найдём \(\displaystyle S{\small :}\)

\(\displaystyle S=\frac{455\cdot 259200}{216} =455\cdot 1200=546000{\small .}\)

Значит, в кредит было взято \(\displaystyle 546000\)рублей или  \(\displaystyle 546\)тыс. рублей.

Ответ: \(\displaystyle 546{\small }\)тыс. рублей.