В сентябре \(\displaystyle 2024\)года Иван Иванович решил взять в кредит \(\displaystyle 252\) тыс рублей на \(\displaystyle 2\) года на следующих условиях:
- каждый январь долг возрастает на \(\displaystyle 10 \%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по август каждого года необходимо выплатить часть кредита одним платежом;
- к сентябрю \(\displaystyle 2026\) года кредит должен быть полностью выплачен (погашен).
Иван Иванович собирается погасить кредит двумя равными платежами.
Найдите общую сумму платежей. Ответ дайте в рублях.
рублей.
Сначала найдём величину ежегодного платежа, а затем –сумму платежей.
Пусть \(\displaystyle x\)рублей – величина ежегодного платежа.
Сумму долга (вкладчика перед банком) также будем рассматривать в рублях.
Для упрощения записи введём переменную \(\displaystyle S\) – начальная сумма долга (величина взятого кредита):
\(\displaystyle S=252\)тыс. рублей \(\displaystyle =252000\)рублей.
Посмотрим, как изменяется сумма долга за \(\displaystyle 2\)года.
При увеличении величины \(\displaystyle S\) на \(\displaystyle p \%\) получаем
\(\displaystyle S \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right) {\small .}\)
В январе сумма долга \(\displaystyle S\) увеличится на \(\displaystyle 10 \%\) и составит
\(\displaystyle S\cdot \left(1+ \frac {10}{100} \right) = 1{,}1S{\small }\)(руб.)
То есть каждый январь долг увеличивается в \(\displaystyle 1{,}1\)раза.
После этого вкладчик внесет в банк платёж в размере \(\displaystyle x\)рублей, уменьшив тем самым сумму долга на величину \(\displaystyle x{\small .}\)
Для удобства запишем все данные в таблицу:
| Год | Долг на начало периода, руб. | Долг с процентами, руб. | Выплата, руб. |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle 1{,}1S\) | \(\displaystyle x\) |
Долг на конец первого, а значит, на начало второго периода, составит
\(\displaystyle 1{,}1S-x{\small }\)руб.
За второй год новая сумма долга \(\displaystyle (1{,}1S-x)\)вновь увеличится на \(\displaystyle 10 \%{\small ,}\) то есть увеличится в \(\displaystyle 1{,}1\)раза. Затем вкладчик внесёт в банк \(\displaystyle x\)рублей.
Продолжим заполнение таблицы:
| Год | Долг на начало периода, руб. | Долг с процентами, руб. | Выплата, руб. |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle 1{,}1S\) | \(\displaystyle x\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 1{,}1S-x\) | \(\displaystyle 1{,}1(1{,}1S-x)\) | \(\displaystyle x\) |
Видим, что
- с одной стороны, долг на конец второго года составит \(\displaystyle 1{,}1(1{,}1S-x)-x\)рублей;
- с другой стороны, к этому моменту кредит должен быть полностью погашен, то есть величина долга составит \(\displaystyle 0\)рублей.
Получаем уравнение:
\(\displaystyle 1{,}1(1{,}1S-x)-x=0{\small .}\)
Решим его:
\(\displaystyle 1{,}1^2 \cdot S-1{,}1x-x=0{\small ,}\)
\(\displaystyle 1{,}1^2 \cdot S=1{,}1x+x{\small ,}\)
\(\displaystyle 2{,}1x=1{,}21S{\small ,}\)
\(\displaystyle x=\frac{1{,}21S}{2{,}1}{\small .}\)
Подставим \(\displaystyle S=252000\) и найдём \(\displaystyle x{\small :}\)
\(\displaystyle x=\frac{1{,}21 \cdot 252000}{2{,}1}{\small .}\)
\(\displaystyle x=145200{\small .}\)
Значит, величина ежегодного платежа по кредиту составляет \(\displaystyle 145200{\small }\)рублей.
Всего за \(\displaystyle 2\) года будет внесено два таких платежа. Значит, общая сумма платежей составит
\(\displaystyle 2x=2\cdot 145200=290400 {\small }\)рублей.
Ответ:\(\displaystyle 290400{\small }\)рублей.