Решите уравнение:
\(\displaystyle x^2-5x+\frac{24}{x^2-5x}=-10 {\small.}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.
\(\displaystyle x_1=\)
\(\displaystyle x_2=\)
\(\displaystyle x_3=\)
\(\displaystyle x_4=\)
1. Заметим, что в уравнении
\(\displaystyle x^2-5x+\frac{24}{x^2-5x}=-10\)
повторяется выражение \(\displaystyle x^2-5x{\small.}\)
Поэтому можно сделать замену переменной \(\displaystyle t=x^2-5x{\small.}\)
В этом случае исходное уравнение примет вид
\(\displaystyle t+\frac{24}{t}=-10 {\small.}\)
2. Решим полученное уравнение.
Перенесём все члены уравнения в левую часть
\(\displaystyle t+\frac{24}{t}+10=0 {\small}\)
и приведём их к общему знаменателю
\(\displaystyle \frac{t^2+24+10t}{t} =0{\small.}\)
Полученное уравнение равносильно системе:
\(\displaystyle \begin{cases} t^2+10t+24=0{\small , } \\ t=\not 0{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle t=-4\) и \(\displaystyle t=-6\)
являются решениями системы, а значит, и уравнения с переменной \(\displaystyle t{ \small .}\)
3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle {t}=x^2-5x{\small,}\) то
\(\displaystyle -4=x^2-5x\) или \(\displaystyle -6=x^2-5x{\small.}\)
Перепишем уравнения в виде
| \(\displaystyle x^2-5x+4=0{\small,}\) | \(\displaystyle x^2-5x+6=0{\small.}\) |
и решим каждое из них.
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=4{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=1{\small,}\)
\(\displaystyle x_3=3{\small,}\)
\(\displaystyle x_4=2{\small.}\)
| Ответ: | \(\displaystyle x_1=4{\small,}\) |
| \(\displaystyle x_2=1{\small,}\) | |
| \(\displaystyle x_3=3{\small,}\) | |
| \(\displaystyle x_4=2{\small.}\) |