Решите уравнение:
\(\displaystyle x^2+2x-1+\frac{2}{x^2+2x+2}=0 {\small.}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.
\(\displaystyle x_1=\)
\(\displaystyle x_2=\)
\(\displaystyle x_3=\)
\(\displaystyle x_4=\)
1. Заметим, что в уравнении
\(\displaystyle x^2+2x-1+\frac{2}{x^2+2x+2}=0\)
повторяется выражение \(\displaystyle x^2+2x\)
Поэтому можно сделать замену переменной \(\displaystyle t=x^2+2x{\small.}\)
В этом случае исходное уравнение примет вид
\(\displaystyle t-1 + \frac{2}{t+2} = 0 {\small.}\)
2. Решим полученное уравнение.
и получим уравнение
\(\displaystyle \frac{t^2 + t}{t+2}=0{\small .}\)
Полученное уравнение равносильно системе:
\(\displaystyle \begin{cases} t^2 + t=0{\small , } \\ t+2=\not 0{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle t=0\) и \(\displaystyle t=-1\)
являются решениями системы, а значит, и уравнения с переменной \(\displaystyle t{ \small .}\)
3. Вернёмся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle t=x^2+2x{\small,}\) то
\(\displaystyle 0=x^2+2x\) или \(\displaystyle -1=x^2+2x{\small.}\)
Перепишем уравнения в виде
| \(\displaystyle x^2+2x=0{\small,}\) | \(\displaystyle x^2+2x+1=0{\small.}\) |
и решим каждое из них.
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=0{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-2{\small,}\)
\(\displaystyle x_3=-1{\small.}\)
| Ответ: | \(\displaystyle x_1=0{\small,}\) |
| \(\displaystyle x_2=-2{\small,}\) | |
| \(\displaystyle x_3=-1{\small.}\) |