Решите уравнение:
\(\displaystyle x^2-4x+8+\frac{15}{x^2-4x}=0 {\small.}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.
\(\displaystyle x_1=\)
\(\displaystyle x_2=\)
\(\displaystyle x_3=\)
\(\displaystyle x_4=\)
1. Заметим, что в уравнении
\(\displaystyle x^2-4x+8+\frac{15}{x^2-4x}=0\)
повторяется выражение \(\displaystyle x^2-4x{\small.}\)
Поэтому можно сделать замену переменной \(\displaystyle t=x^2-4x{\small.}\)
В этом случае исходное уравнение примет вид
\(\displaystyle t+8+\frac{15}{t}=0 {\small.}\)
2. Решим полученное уравнение.
Приведём выражения в левой части уравнения к общему знаменателю
\(\displaystyle \frac{t^2+15+8t}{t} =0{\small.}\)
Полученное уравнение равносильно системе:
\(\displaystyle \begin{cases} t^2+8t+15=0{\small , } \\ t=\not 0{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle t=-3\) и \(\displaystyle t=-5\)
являются решениями системы, а значит, и уравнения с переменной \(\displaystyle t{ \small .}\)
3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle {t}=x^2-4x{\small,}\) то
\(\displaystyle -3=x^2-4x\) или \(\displaystyle -5=x^2-4x{\small.}\)
Перепишем уравнения в виде
| \(\displaystyle x^2-4x+3=0{\small,}\) | \(\displaystyle x^2-4x+5=0{\small}\) |
и решим каждое из них.
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=3{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=1{\small.}\)
| Ответ: | \(\displaystyle x_1=3{\small,}\) |
| \(\displaystyle x_2=1{\small.}\) |