Числитель несократимой дроби на \(\displaystyle 3\) меньше знаменателя. Если числитель увеличить на \(\displaystyle 5{\small,}\) а знаменатель уменьшить на \(\displaystyle 2{\small,}\) то получится число \(\displaystyle 1\frac{1}{3}{\small.}\) Найдите исходную дробь.
1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).
Пусть \(\displaystyle x\) — знаменатель исходной дроби.
По условию числитель на \(\displaystyle 3\) меньше знаменателя, значит, числитель равен \(\displaystyle x-3{\small.}\)
Тогда исходная дробь:
\(\displaystyle \color {009900}{\frac{x-3}{x}}{\small.}\)
Дробь изменили.
- Числитель увеличили на \(\displaystyle 5{\small,}\) то есть числитель новой дроби: \(\displaystyle (x-3)+5 = x+2{\small.}\)
- Знаменатель уменьшили на \(\displaystyle 2{\small,}\) то есть знаменатель новой дроби: \(\displaystyle x-2{\small.}\)
Тогда новая дробь:
\(\displaystyle \color {blue}{\frac{x+2}{x-2}}{\small.}\)
По условию, новая дробь оказалась равна \(\displaystyle 1\frac{1}{3}{\small.}\) Составим уравнение:
\(\displaystyle \color {blue} {\frac{x+2}{x-2}=1\frac{1}{3}}{\small.}\)
2. Решив данное уравнение, получим:
\(\displaystyle x=14{\small.}\)
3. Ответим на вопрос задачи.
За \(\displaystyle x\) обозначили знаменатель несократимой дроби, а найти требуется саму дробь.
В наших обозначениях это \(\displaystyle \color {009900}{\frac{x-3}{x}}{\small.}\) Тогда получаем:
\(\displaystyle \frac{14-3}{14}=\frac{11}{14}{\small.}\)
Данная дробь несократима, поэтому удовлетворяет условию задачи.
Ответ: \(\displaystyle \frac{11}{14}{\small.}\)