Знаменатель несократимой дроби на \(\displaystyle 7\) больше числителя. Если числитель умножить на \(\displaystyle 9{\small,}\) а знаменатель – на \(\displaystyle 2{\small,}\) то получится число \(\displaystyle 1\frac{7}{8}{\small.}\) Найдите исходную дробь.
1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).
Пусть \(\displaystyle x\) — числитель исходной несократимой дроби.
По условию знаменатель на \(\displaystyle 7\) больше числителя, значит, знаменатель равен \(\displaystyle x+7{\small.}\)
Тогда исходная дробь:
\(\displaystyle \color {009900}{\frac{x}{x+7}}{\small.}\)
Дробь изменили.
- Числитель умножили на \(\displaystyle 9{\small,}\) то есть числитель новой дроби: \(\displaystyle 9x{\small.}\)
- Знаменатель умножили на \(\displaystyle 2{\small,}\) то есть знаменатель новой дроби: \(\displaystyle 2(x+7){\small.}\)
Тогда новая дробь:
\(\displaystyle \color {blue}{\frac{9x}{2(x+7)}}{\small.}\)
По условию, новая дробь равна \(\displaystyle 1\frac{7}{8}{\small.}\) Составим уравнение:
\(\displaystyle \color {blue} {\frac{9x}{2(x+7)}=1\frac{7}{8}}{\small.}\)
2. Решив данное уравнение, получим:
\(\displaystyle x=5{\small.}\)
Запишем правую часть уравнения в виде неправильной дроби:
\(\displaystyle {\frac{9x}{2(x+7)}=\frac{15}{8}}{\small.}\)
Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции:
\(\displaystyle 8 \cdot 9x = 15 \cdot 2(x+7){\small}\,|: 2\)
\(\displaystyle 4 \cdot 9x = 15 \cdot (x+7){\small}\,|: 3\)
\(\displaystyle 4 \cdot 3x = 5 \cdot (x+7){\small,}\)
\(\displaystyle 12x = 5(x+7){\small,}\)
\(\displaystyle 12x = 5x + 35{\small,}\)
\(\displaystyle 12x - 5x = 35{\small,}\)
\(\displaystyle 7x = 35{\small,}\)
\(\displaystyle x = 5{\small.}\)
При \(\displaystyle x=5\) знаменатель \(\displaystyle 2(x+7)\) дроби отличен от нуля: \(\displaystyle 2(5+7)=\not 0{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle x=5\) – корень уравнения.
3. Ответим на вопрос задачи.
За \(\displaystyle x\) обозначили числитель дроби, а найти требуется саму дробь.
В наших обозначениях это \(\displaystyle \color {009900}{\frac{x}{x+7}}{\small.}\) Тогда получаем:
\(\displaystyle \frac{5}{5+7}=\frac{5}{12}{\small.}\)
Данная дробь несократима, поэтому удовлетворяет условию задачи.
Ответ: \(\displaystyle \frac{5}{12}{\small.}\)