Skip to main content

Теория: Текстовые задачи на зависимости между числами (короткая версия)

Задание

Числитель и знаменатель несократимой дроби – натуральные числа, причём знаменатель на \(\displaystyle 4\) больше числителя. Если к числителю этой дроби прибавить \(\displaystyle 2{\small,}\) а к знаменателю \(\displaystyle 21{\small,}\) то дробь уменьшится на \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small.}\) Найдите исходную дробь.

\frac{3}{7}

 

Таблица квадратов двузначных чисел

Решение

1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).

Пусть \(\displaystyle x\) — знаменатель исходной дроби.

По условию числитель на \(\displaystyle 4\) меньше знаменателя, значит, числитель равен \(\displaystyle x-4{\small.}\)

Тогда исходная дробь:

\(\displaystyle \\[-15px]\color {009900}{\frac{x-4}{x}}{\small.}\) 

Дробь изменили.

  • К числителю прибавили \(\displaystyle 2{\small,}\) то есть числитель новой дроби: \(\displaystyle x-4+2=x-2{\small.}\)
  • К знаменателю прибавили \(\displaystyle 21{\small,}\) то есть знаменатель новой дроби: \(\displaystyle x+21{\small.}\)

Тогда новая дробь:

\(\displaystyle \\[-15px]\color {blue}{\frac{x-2}{x+21}}{\small.}\) 

По условию, дробь уменьшилась на \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small,}\) то есть новая дробь на \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small}\) меньше старой.

Вычитая из большей величины меньшую, составим уравнение:
 

\(\displaystyle \color {009900}{\frac{x-4}{x}} - \color {blue}{\frac{x-2}{x+21}} = \frac{1}{4}{\small.}\) 


2. Решим полученное уравнение.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\(\displaystyle \frac{x-4}{x} - \frac{x-2}{x+21} - \frac14 = 0{\small }\)

и приведём их к общему знаменателю \(\displaystyle 4x(x+21){\small .}\)

Получим уравнение

\(\displaystyle \frac{-x^2 + 55x - 336}{4x(x+21)} = 0{\small} \)

или после умножения обеих частей на \(\displaystyle -1\)

\(\displaystyle \frac{x^2 - 55x + 336}{4x(x+21)} = 0{\small .} \)

Данное уравнение равносильно системе

\(\displaystyle \begin{cases} x^2 - 55x + 336 = 0,\\ 4x(x+21) =\not 0{\small .} \end{cases} \)

Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2 - 55x + 336 = 0\) имеет корни

 \(\displaystyle x=7\) и \(\displaystyle x=48{\small . }\)

\(\displaystyle 4x(x+21) =\not 0\) при \(\displaystyle x =\not 0\) и \(\displaystyle x =\not -21{\small .}\)

Получили:

\(\displaystyle \begin{cases} x=48{ \small ,}\, \,x=7{\small , } \\[5px] x=\not \, 0{ \small ,}\, \,x=\not -21{\small . } \end{cases}\)

 \(\displaystyle x=48\) и \(\displaystyle x=7{\small }\)

являются решениями системы, а значит, и исходного уравнения.

3. Ответим на вопрос задачи.

За \(\displaystyle x\) обозначили знаменатель дроби.

Требовалось найти исходную несократимую дробь, числитель и знаменатель которой – натуральные числа. 

В наших обозначениях исходная дробь \(\displaystyle \color {009900}{\frac{x-4}{x}}{\small.}\)  

  • При \(\displaystyle x=48\) получаем 

\(\displaystyle \frac{48-4}{48}=\frac{44}{48}{\small.}\) 

Данная дробь не является несократимой \(\displaystyle (\!\)её числитель и знаменатель делятся на \(\displaystyle 2{\small.})\)
 

  • При \(\displaystyle x=7\) получаем 

\(\displaystyle \frac{7-4}{7}=\frac{3}{7}{\small.}\) 

Эта дробь несократима, её числитель и знаменатель – натуральные числа.

Значит, дробь \(\displaystyle \frac{3}{7}\) удовлетворяет условию задачи.

Ответ: \(\displaystyle \frac{3}{7}{\small.}\)