Skip to main content

Теория: Текстовые задачи на зависимости между числами (короткая версия)

Задание

Числитель и знаменатель несократимой дроби – натуральные числа, причём числитель на \(\displaystyle 2\) больше знаменателя. Если из этой дроби вычесть обратную к ней дробь, то получится число \(\displaystyle 1\frac{1}{15}{\small.}\) Найдите исходную дробь.

\frac{5}{3}


Таблица квадратов двузначных чисел

Решение

1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).

Пусть \(\displaystyle x\) — знаменатель исходной дроби.

По условию числитель на \(\displaystyle 2\) больше знаменателя, значит, числитель равен \(\displaystyle x+2{\small.}\)

Тогда исходная дробь – это

\(\displaystyle \\[-15px]\color {009900}{\frac{x+2}{x}}{\small,}\) 

а дробь, обратная к данной –

\(\displaystyle \\[-15px]\color {blue}{\frac{x}{x+2}}{\small.}\\[-7px]\) 

По условию, разность исходной и обратной к ней дроби равна \(\displaystyle 1\frac{1}{15}{\small.}\) Составим уравнение:
 

\(\displaystyle \color {009900}{\frac{x+2}{x}} - \color {blue}{\frac{x}{x+2}} = 1\frac{1}{15}{\small.}\) 


2. Решим данное уравнение.

1. Если сделать замену переменной

\(\displaystyle t=\frac{x+2}{x}{\small,}\) то \(\displaystyle \frac{x}{x+2}=\frac{1}{t}{\small.}\)

Исходное уравнение примет вид:

\(\displaystyle t - \frac{1}{t} = 1\frac{1}{15}{\small ,}\\[-7px]\)

\(\displaystyle t - \frac{1}{t} = \frac{16}{15}{\small .}\)

В результате тождественных преобразований получим, что

данное уравнение равносильно системе 

\(\displaystyle\begin{cases}15t^2-16t-15=0{\small , } \\ 15t =\not 0{\small . }\end{cases}\)

Решения системы, а значит, и уравнения с переменной \(\displaystyle t{\small : }\)

\(\displaystyle t=\frac{5}{3}\) и \(\displaystyle t=-\frac{3}{5}{\small.}\)

3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).

Так как \(\displaystyle {t}=\frac{x+2}{x}{\small,}\) то

\(\displaystyle \frac{5}{3}=\frac{x+2}{x}\) или \(\displaystyle -\frac{3}{5}=\frac{x+2}{x}{\small.}\)

Перепишем уравнения в виде:

\(\displaystyle \frac{x+2}{x}=\frac{5}{3}{\small,}\qquad\frac{x+2}{x}=-\frac{3}{5}{\small.}\)

Решив полученные уравнения, найдём их корни:

\(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{5}{4}{\small.}\)

И при \(\displaystyle x=3{\small,}\) и при \(\displaystyle x=-\frac{5}{4}{\small}\) обе части исходного уравнения имеют смысл.

Значит, \(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{5}{4}\) являются корнями исходного уравнения.


3. Ответим на вопрос задачи.

За \(\displaystyle x\) обозначили знаменатель дроби.

Так как по условию числитель и знаменатель – натуральные числа, то подходит только \(\displaystyle x_1=3{\small.}\)

Требовалось найти исходную дробь. В наших обозначениях это \(\displaystyle \color {009900}{\frac{x+2}{x}}{\small.}\)  Тогда получаем:

\(\displaystyle \frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}{\small.}\) 

Эта дробь несократима, её числитель и знаменатель – натуральные числа.

Значит, дробь \(\displaystyle \frac{5}{3}\) удовлетворяет условию задачи.

Ответ: \(\displaystyle \frac{5}{3}{\small.}\)