ТЕОРИЯ
Число \(\displaystyle b\) называется пределом последовательности \(\displaystyle (a_n) \)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim}a_n=b{\small ,}\)
если для любого сколь угодно малого положительного числа \(\displaystyle \varepsilon\)существует натуральное число \(\displaystyle N{\small ,}\)такое, что для всех членов последовательности с номерами \(\displaystyle n>N\)верно неравенство
\(\displaystyle |a_n-b|<\varepsilon{\small .}\)
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся последовательностью.
Если все члены последовательности \(\displaystyle (b_n) \)равны \(\displaystyle b{\small ,}\)то
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim}b_n=b{\small .}\)
Если последовательность \(\displaystyle (x_n) \)имеет предел, то она ограничена.
Если последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, то существуют пределы последовательностей \(\displaystyle (a_n \pm b_n)\) и \(\displaystyle (a_n \cdot b_n){\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim}(a_n \pm b_n)=\underset{n \rightarrow \infty}{lim}a_n \pm \underset{n \rightarrow \infty}{lim}b_n{\small ,}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim}(a_n \cdot b_n)=\underset{n \rightarrow \infty}{lim}a_n \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{lim}b_n{\small .}\)
Если последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, то существует предел последовательности \(\displaystyle (a_n \pm b_n){\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim}(a_n \pm b_n)=\underset{n \rightarrow \infty}{lim}a_n \pm \underset{n \rightarrow \infty}{lim}b_n{\small .}\)
Если последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, то существует предел последовательности \(\displaystyle (a_n \cdot b_n){\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim}(a_n \cdot b_n)=\underset{n \rightarrow \infty}{lim}a_n \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{lim}b_n{\small .}\)
Если последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, \(\displaystyle b_n =\not 0\) при любом натуральном значении \(\displaystyle n\) и \(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim}b_n =\not 0 {\small ,}\)то существует предел последовательности \(\displaystyle \left(\frac {a_n}{b_n} \right) {\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim} \left( \frac {a_n}{b_n} \right)=\frac {\underset{n \rightarrow \infty}{lim}a_n}{\underset{n \rightarrow \infty}{lim}b_n}{\small .}\)