Найдем
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{2n+1}{2-n}{\small.}\)
Преобразуем дробь \(\displaystyle \frac{2n+1}{2-n}\) к виду, позволяющему применить свойства пределов.
Заметим, что в числителе и знаменателе дроби стоят многочлены первой степени. Разделим чиcлитель и знаменатель дробина \(\displaystyle \red n{\small .}\)
Получим
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \,\frac{2n+1}{2-n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{\,\dfrac{2n}{\red n}+\dfrac{1}{\red n}\,\,}{\dfrac{2}{\red n}-\dfrac{n}{\red n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{2+\dfrac{1}n\,\,}{\dfrac{2}{n}-1}{\small.}\)
Так как предел частного равен частному пределов, то\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \,\frac{2+\dfrac{1}n\,\,}{\dfrac{2}{n}-1}=\frac{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2+\dfrac{1}n\right)}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\dfrac{2}{n}-1\right)}{\small.}\)
СвойствоЕсли последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, \(\displaystyle b_n =\not 0\) при любом натуральном значении \(\displaystyle n\) и \(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n =\not 0 {\small ,}\)то существует предел последовательности \(\displaystyle \left(\frac {a_n}{b_n} \right) {\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left( \frac {a_n}{b_n} \right)=\frac {\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}a_n}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n}{\small .}\)
Воспользуемся свойствами предела
Свойство 1Если все члены последовательности \(\displaystyle (b_n) \)равны \(\displaystyle b{\small ,}\)то
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n=b{\small .}\)
Свойство 2Если последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, то существует предел последовательности \(\displaystyle (a_n \pm b_n){\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(a_n \pm b_n)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}a_n \pm\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n{\small .}\)
Свойство 3Если последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, то существует предел последовательности \(\displaystyle (a_n \cdot b_n){\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(a_n \cdot b_n)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}a_n \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n{\small .}\)
и получим:
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2+\dfrac{1}{n}\right)=2+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}{\small ;}\)
По свойству \(\displaystyle 2{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2+\dfrac{1}n\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}{\small .}\)
По свойству \(\displaystyle 1{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2=2{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2+\dfrac{1}n\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}=2+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}{\small .}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\dfrac{2}{n}-1\right)=2\cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}-1{\small .}\)
По свойству \(\displaystyle 2{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\dfrac{2}{n}-1\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{2}{n}-\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}1{\small .}\)
По свойству \(\displaystyle 3{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{2}{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2 \cdot \frac{1}{n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2 \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \, \frac{1}{n}{\small .}\)
По свойству \(\displaystyle 1{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}1=1{\small ,}\)\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2=2{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\dfrac{2}{n}-1\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2 \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}-\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}1=2 \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}-1{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2+\dfrac{1}{n}\right)}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\dfrac{2}{n}-1\right)}=\frac{2+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}}{2 \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}-1}{\small .}\)
Так как
Информация\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \, \frac{1}{n}=0{\small, }\)
получаем
\(\displaystyle \frac{2+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}}{2 \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}-1}=\frac{2+0}{2 \cdot 0-1}=-2{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{2n+1}{2-n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{\,\dfrac{2n}{\red n}+\dfrac{1}{\red n}\,\,}{\dfrac{2}{\red n}-\dfrac{n}{\red n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{2+\dfrac{1}n\,\,}{2 \cdot\dfrac{1}{n}-1}=\frac{2+0}{2 \cdot 0-1}=-2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -2{\small .}\)