Найдите предел последовательности \(\displaystyle (a_n) {\small ,}\)если
\(\displaystyle a_n=\frac{2}{n}{\small. }\)
Если предел не существует, оставьте окно ввода пустым.
Определите, является ли данная последовательность сходящейся или расходящейся.
Данная последовательность является
Найдем предел последовательности
\(\displaystyle a_n=\frac{2}{n}{\small.}\)
Представим дробь \(\displaystyle \frac{2}{n}\) в виде произведения
\(\displaystyle \frac{2}{n} = 2 \cdot \frac{1}{n} {\small.}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \, \frac{2}{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2 \cdot \frac{1}{n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2 \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\frac{1}{n}{\small .}\)
Так как\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2=2{\small ,}\)
а \(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\frac{1}{n}=0{\small, }\) получаем
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}a_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \, \frac{2}{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2 \cdot \frac{1}{n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2 \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\frac{1}{n}=2\cdot 0 =0{\small .}\)
Получили, что данная последовательность имеет предел, равный \(\displaystyle 0{\small .}\)
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся последовательностью.
Значит, данная последовательность является сходящейся.
Ответ: \(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}a_n=0{\small .}\) Данная последовательность является сходящейся.