Найдем
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{2n+1}{4n^2+n+2}{\small.}\)
Преобразуем дробь \(\displaystyle \frac{2n+1}{4n^2+n+2}\) к виду, позволяющему применить свойства пределов.
Заметим, что в числителе и знаменателе дроби стоят многочлены первой степени. Разделим чиcлитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle \red {n^2}\) (\(\displaystyle n\) в наибольшей встречающейся степени).
Получим
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \,\frac{2n+1}{4n^2+n+2}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{\dfrac{2n}{\red {n^2}}+\dfrac{1}{\red {n^2}}\,\,}{\dfrac{4n^2}{\red {n^2}}+\dfrac{n}{\red {n^2}}+\dfrac{2}{\red {n^2}}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \dfrac{\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\,\,}{4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}}{\small.}\)
Так как предел частного равен частному пределов, то\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \dfrac{\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\,\,}{4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}}=\frac{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left( \dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2} \right)}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}\right)}{\small.}\)
СвойствоЕсли последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, \(\displaystyle b_n =\not 0\) при любом натуральном значении \(\displaystyle n\) и \(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n =\not 0 {\small ,}\)то существует предел последовательности \(\displaystyle \left(\frac {a_n}{b_n} \right) {\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left( \frac {a_n}{b_n} \right)=\frac {\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}a_n}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n}{\small .}\)
Воспользуемся свойствами предела
Свойство 1Если все члены последовательности \(\displaystyle (b_n) \)равны \(\displaystyle b{\small ,}\)то
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n=b{\small .}\)
Свойство 2Если последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, то существует предел последовательности \(\displaystyle (a_n \pm b_n){\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(a_n \pm b_n)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}a_n \pm\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n{\small .}\)
Свойство 3Если последовательности \(\displaystyle (a_n) \) и \(\displaystyle (b_n) \)имеют пределы, то существует предел последовательности \(\displaystyle (a_n \cdot b_n){\small ,}\)причём
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(a_n \cdot b_n)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}a_n \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}b_n{\small .}\)
и получим:
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2} \right)= 2\cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}+\left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2{\small ;}\)
По свойству \(\displaystyle 2{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{2}{n}+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n^2}{\small .}\)
По свойству \(\displaystyle 3{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{2}{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2 \cdot \frac{1}{n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2 \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \, \frac{1}{n}{\small ;}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{n^2}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{n} \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \, \frac{1}{n}=\left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2{\small .}\)
По свойству \(\displaystyle 1{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2=2{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{2}{n}+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n^2}=2\cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}+\left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2{\small .}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}\right)=4+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}+ 2\cdot \left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2{\small .}\)
По свойству \(\displaystyle 2{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}4+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{n}+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{2}{n^2}{\small .}\)
По свойству \(\displaystyle 3{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{2}{n^2}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(2\cdot\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2 \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{n} \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \, \frac{1}{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2 \cdot \left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2{\small .}\)
По свойству \(\displaystyle 1{\small :}\)
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}4=4{\small ,}\)\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}2=2{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}4+\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}+ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{2}{n^2}=4+ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}+2 \cdot \left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}\right)}=\frac{2\cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{n}+\left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2}{4+ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}+2 \cdot \left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \, \frac{1}{n}=0{\small, }\) получаем
\(\displaystyle \frac{2\cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}+\left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2}{4+ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}+2 \cdot \left( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\,\dfrac{1}{n}\right)^2}=\frac{2 \cdot 0+0^{\,2}}{4+0+ 2 \cdot 0^{\,2}}=\frac{0}{4}=0{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \begin{alignedat}{2}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{2n+1}{4n^2+n+2}&=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \frac{\dfrac{2n}{\red {n^2}}+\dfrac{1}{\red {n^2}}\,\,}{\dfrac{4n^2}{\red {n^2}}+\dfrac{n}{\red {n^2}}+\dfrac{2}{\red {n^2}}}=\\[15px]&=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\, \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{n}+\left( \dfrac{1}{n}\right)^{\!2}}{4+\dfrac{1}{n}+2 \cdot \left( \dfrac{1}{n}\right)^{\!2}}=\frac{2 \cdot 0+0^{\,2}}{4+0+ 2 \cdot 0^{\,2}}=0{\small.}\end{alignedat}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{\small .}\)