Skip to main content

Теория: Задачи на совместную работу (короткая версия)

Скриншот экрана
  Скачать
Задание

Первая труба наполняет резервуар на \(\displaystyle 6\) минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за \(\displaystyle 4\) минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?


Решение

1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).

Примем объём резервуара за \(\displaystyle \red1{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle x\) минут – время, за которое вторая труба одна наполняет резервуар.

Первой трубе для заполнения того же резервуара нужно на \(\displaystyle 6\) минут больше, то есть \(\displaystyle x+6\) минут.

Тогда

  • вторая труба за минуту наполнит \(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{x}}\) часть резервуара,
     
  • первая труба за минуту наполнит \(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{x+6}}\) часть резервуара.


Значит, работая вместе, они за минуту наполнят \(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{x}} + \color{blue}{\frac{1}{x+6}}\) часть резервуара.

По условию, работая вместе, обе трубы наполняют резервуар за \(\displaystyle \color{009900}{4}\) минуты. Составим уравнение:

\(\displaystyle \left(\color{blue}{\frac{1}{x}} + \color{blue}{\frac{1}{x+6}}\right)\cdot \color{009900}{4} = \red1{\small}\)

или, после раскрытия скобок:

\(\displaystyle \boxed{\frac{4}{x} + \frac{4}{x+6} = 1{\small.}}\)


2. Решим полученное уравнение.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведём их к общему знаменателю.

Получим

\(\displaystyle \frac{-x^2 + 2x + 24}{x(x+6)} = 0{\small}\)

или, после умножения обеих частей уравнения на \(\displaystyle -1{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{x^2 - 2x - 24}{x(x+6)} = 0{\small .}\)

Данное уравнение равносильно системе

\(\displaystyle \begin{cases} x^2 - 2x - 24 = 0,\\ x(x+6) =\not 0{\small .}\end{cases} \) 

Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2 - 2x - 24 = 0\) имеет корни \(\displaystyle x=6\) и \(\displaystyle x=-4{\small . }\)

\(\displaystyle x(x+6) =\not 0\) при \(\displaystyle x =\not 0\) и \(\displaystyle x =\not -6{\small .}\)

Получили:

\(\displaystyle \begin{cases} x=6{ \small ,}\, \,x=-4{\small , } \\[5px] x =\not 0{ \small ,}\, \,x =\not -6{\small . } \end{cases}\)

\(\displaystyle x=6\) и \(\displaystyle x=-4{\small }\) являются решениями системы, а значит, и исходного уравнения.


3. Ответим на вопрос задачи.

За \(\displaystyle x\) обозначили время, за которое вторая труба наполняет резервуар. Его и требовалось найти.

Так как время не может быть отрицательным, подходит только \(\displaystyle x=6{\small . }\)

При этом первая труба наполняет резервуар за \(\displaystyle x+6 = 12\) минут.

Ответ: \(\displaystyle 6\) минут.