Skip to main content

Теория: Задачи на концентрацию

Задание

В водном растворе соли содержится \(\displaystyle 14\)кг воды. После добавления \(\displaystyle 7\)кг соли концентрация соли в растворе повысилась на \(\displaystyle 10\%{\small.}\) Определите массу первоначального раствора.


кг.

Таблица квадратов двузначных чисел

Решение

1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).

Проследим за концентрацией соли в первоначальном и новом растворах.

1) По условию в водном растворе соли содержится \(\displaystyle 14\) кг воды.

Пусть масса первоначального раствора составляла \(\displaystyle x\) кг.

Тогда масса соли в нём равна \(\displaystyle (x-14)\) кг, а концентрация соли:

\(\displaystyle \\[-8px]\frac{x-14}{x}\cdot 100\%{\small.}\)

2) В раствор добавили \(\displaystyle 7\) кг соли. Теперь имеем:

  • масса нового раствора: \(\displaystyle x+7\) кг, 
  • масса соли: \(\displaystyle (x-14)+7 = x-7\) кг.

Тогда концентрация соли в новом растворе равна

\(\displaystyle \\[-7px]\frac{x-7}{x+7}\cdot 100\%{\small.}\\[-7px]\)

По условию, концентрация повысилась на \(\displaystyle 10\%{\small.}\)

То есть концентрация соли в новом растворе на \(\displaystyle 10\%\) больше, чем в первоначальном.

Вычитая из большей величины меньшую, получаем уравнение:

\(\displaystyle \\[-7px]\boxed{\frac{x-7}{x+7}\cdot 100 - \frac{x-14}{x}\cdot 100 = 10{\small.}}\)


2. Упростим и решим полученное уравнение.

Разделим обе части уравнения на \(\displaystyle 10{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{10(x-7)}{x+7} - \frac{10(x-14)}{x} = 1{\small.}\\[-7px]\)

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведём их к общему знаменателю.

Получим

\(\displaystyle \frac{-x^2 - 7x + 980}{x(x+7)} = 0{\small}\)

или, после умножения обеих частей уравнения на \(\displaystyle -1{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{x^2 + 7x - 980}{x(x+7)} = 0{\small .}\)

Данное уравнение равносильно системе

\(\displaystyle \begin{cases} x^2 + 7x - 980 = 0,\\ x(x+7) =\not 0{\small .}\end{cases} \) 

Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2 + 7x - 980 = 0\) имеет корни \(\displaystyle x=28\) и \(\displaystyle x=-35{\small . }\)

\(\displaystyle x(x+7) =\not 0\) при \(\displaystyle x =\not 0\) и \(\displaystyle x =\not -7{\small .}\)

Получили:

\(\displaystyle \begin{cases} x=28{ \small ,}\, \,x=-35{\small , } \\[5px] x =\not 0{ \small ,}\, \,x =\not -7{\small . } \end{cases}\)

\(\displaystyle x=28\) и \(\displaystyle x=-35{\small }\) являются решениями системы, а значит, и исходного уравнения.

3. Ответим на вопрос задачи.

За \(\displaystyle x\) обозначили первоначальную массу раствора. Её и требовалось найти.

Так как масса раствора не может быть отрицательной, то подходит только \(\displaystyle x=28\) кг.

Ответ: \(\displaystyle 28\) кг.