Skip to main content

Теория: 09 Практические задачи на площади круга, сектора и сегмента

Задание

Коля вырезал воздушного змея необычной формы. На двух соседних сторонах квадрата, как на диаметрах, он построил круги и отрезал часть, покрытую этими кругами. Найдите площадь получившегося змея, если сторона квадрата равна \(\displaystyle 60\)см.

(При вычислениях считайте \(\displaystyle \pi=3{,}14\small.\))

\(\displaystyle S=\)
1287
см2
Решение

Обозначим вершины квадрата, середины его сторон и точку пересечения окружностей.

Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle M\) середины диаметров соответствующих окружностей, то есть центры этих окружностей. 


Вместо того, чтобы искать площадь воздушного змея, сначала найдем площадь остальной части листа.

Для этого разобьем "обрезки" листа на части, площади которых несложно вычислить.

Проведем отрезки \(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle ON\small.\)

Тогда "остаток" листа разбился на три части:

  • сектор \(\displaystyle NBO\small,\)
  • сектор \(\displaystyle MDO\small,\)
  • четырехугольник \(\displaystyle ANOM\small.\)

Чтобы решить задачу:

  • вычислим площади всех трех получившихся частей,
  • вычтем эти площади из площади квадрата.

1. Сначала покажем, что \(\displaystyle ANOM\) – квадрат. Это пригодится при дальнейших вычислениях площадей.

2. Площадь секторов \(\displaystyle NBO\) и \(\displaystyle MDO\) равна

\(\displaystyle S_{секторов}=706{,}5\)см2.

3. Площадь квадрата \(\displaystyle ANOM\) равна

\(\displaystyle S_{ANOM}=900\)см2.

4. Чтобы найти площадь змея, небходимо из площади квадрата \(\displaystyle ABCD\) вычесть площадь "остатка".

Площадь квадрата \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

\(\displaystyle S_{ABCD}=AB^2=60^2=3600\)см2.

Площадь "остатка":

\(\displaystyle S_{ост}=2\cdot S_{сектора}+S_{ANOM}=2\cdot706{,}5+900=2313\)см2.

Тогда площадь змея:

\(\displaystyle S_{змея}=3600-2313=1287\)см2.


Ответ: \(\displaystyle S_{змея}=1287\)см2.