Skip to main content

Теория: Метод подстановки

Задание

Используя метод подстановки, решите систему линейных уравнений:
 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=&2x+1{\small ,}\\7x-2y=&10{\small .}\end{aligned}\right.\)


\(\displaystyle x=\), \(\displaystyle y=\).

Решение

Дана система линейных уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{y}=&\color{green}{2x+1}{\small ,}\\7x-2y=&10{\small .}\end{aligned}\right.\)

Так как известно, что  \(\displaystyle \color{green}{y}=\color{green}{2x+1}\) (первое линейное уравнение в системе), то во втором линейном уравнении можно вместо \(\displaystyle \color{green}{y}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{2x+1}\) (метод подстановки):

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{y}=&\color{green}{2x+1}{\small ,}\\7x-2\cdot (\color{green}{2x+1})=&10{\small .}\end{aligned}\right.\)

Получаем систему, в которой второе уравнение – это линейное уравнение от одной переменной \(\displaystyle x\,{\small :}\)

\(\displaystyle 7x-2\cdot (2x+1)=10{\small .}\)

Решим его, чтобы найти \(\displaystyle x\,{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{array}{c}7x-2\cdot (2x+1)=10{\small ,}\\[5px]7x-(4x+2)=10{\small ,}\\[5px]7x-4x-2=10{\small ,}\\[5px]7x-4x=10+2{\small ,}\\[5px]3x=12{\small ,}\\[5px]x=4{\small .}\end{array}\)

Далее в системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=&2x+1{\small ,}\\\color{blue}{7x-2\cdot (2x+1)=}&\color{blue}{10}\end{aligned}\right.\)

второе линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}{7x-2\cdot (2x+1)=10}\) заменяем на \(\displaystyle \color{green}{x=4}{\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=&2x+1{\small ,}\\\color{green}{x=}&\color{green}{4}{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Снова применим метод подстановки: в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle x\) подставим число \(\displaystyle {\bf 4}{\small .}\) Получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=&2\cdot {\bf 4}+1{\small ,}\\x=&4\end{aligned}\right.\)

или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y=&9,\\x=&4\end{aligned}\right.\)


Ответ: \(\displaystyle x=4{\small ,}\;y=9{\small .}\)