Skip to main content

Теория: Метод подстановки

Задание

Используя метод подстановки, решите систему линейных уравнений:


\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\dfrac{5}{7}x-5y=-\dfrac{23}{14},\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3}x+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small .}\end{cases}\)


\(\displaystyle x=\)
\frac{1}{2}
, \(\displaystyle y=\)
\frac{2}{5}
.
Решение

Дана система линейных уравнений:

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\dfrac{5}{7}x-5y=-\dfrac{23}{14}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3}x+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small .}\end{cases}\)

Для того чтобы воспользоваться методом подстановки, надо выразить одну из переменных через другую. 

Используем первое уравнение системы, чтобы выразить переменную \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y\,{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{array}{c}\dfrac{5}{7}x-5y=-\dfrac{23}{14}{\small ,}\\[15px]\dfrac{5}{7}x=5y-\dfrac{23}{14}{\small ,}\\[15px]\left(\dfrac{5}{7}x\right):\dfrac{5}{7}=\left(5y-\dfrac{23}{14}\right):\dfrac{5}{7}{\small ,}\\[15px]x=\left(5y-\dfrac{23}{14}\right)\cdot \dfrac{7}{5}{\small ,}\\[15px]x=\left(5\cdot \dfrac{7}{5}\right)y-\dfrac{23}{14}\cdot \dfrac{7}{5}{\small ,}\\[15px]x=7y-\dfrac{23}{10}{\small .}\end{array}\)

Далее, в исходной системе

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\color{blue}{\dfrac{5}{7}x-5y=-\dfrac{23}{14}}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3}x+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}\end{cases}\)

заменим первое уравнение \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{5}{7}x-5y=-\frac{23}{14}}\) на \(\displaystyle \color{green}{x=7y-\frac{23}{10}}{\small .}\) Тогда:

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\color{green}{x=7y-\dfrac{23}{10}}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3}x+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small .}\end{cases}\)


Теперь, так как известно, что  \(\displaystyle \color{green}{x}=\color{green}{7y-\frac{23}{10}}{\small ,}\) то во втором линейном уравнении можно вместо \(\displaystyle \color{green}{x}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{7y-\frac{23}{10}}\) (метод подстановки):

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\color{green}{x=7y-\dfrac{23}{10}}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3} \cdot \left(\color{green}{7y-\dfrac{23}{10}}\right)+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small .}\end{cases}\)

Получаем систему, в которой второе уравнение – это линейное уравнение от одной переменной \(\displaystyle y\,{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small .}\)

Решим его, чтобы найти \(\displaystyle y\,{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{array}{c}\dfrac{2}{3}\cdot \left(7y-\dfrac{23}{10}\right)+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small ,}\\[15px]\left(\dfrac{2}{3}\cdot 7\right)y-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{23}{10}+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small ,}\\[15px]\dfrac{14}{3}y-\dfrac{23}{15}+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small ,}\\[15px]\dfrac{14}{3}y+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{23}{15}+\dfrac{8}{15}{\small ,}\\[15px]\dfrac{31}{6}y=\dfrac{31}{15}{\small ,}\\[15px]y=\dfrac{31}{15}:\dfrac{31}{6}{\small ,}\\[15px]y=\dfrac{31}{15}\cdot\dfrac{6}{31}{\small ,}\\[15px]y=\dfrac{2}{5}{\small .}\end{array}\)

Далее в системе

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=7y-\dfrac{23}{10}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\color{blue}{\dfrac{2}{3} \cdot \left(7y-\dfrac{23}{10}\right)+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}}\end{cases}\)

второе линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}{\frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}}\) заменяем на \(\displaystyle \color{green}{y=\frac{2}{5}}{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=7y-\dfrac{23}{10}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\color{green}{y=\dfrac{2}{5}}{\small .}\end{cases}\)


Снова применим метод подстановки – в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle y\) подставим число \(\displaystyle {\bf \frac{2}{5}}{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=7\cdot {\bf \dfrac{2}{5}}-\dfrac{23}{10}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}y=\dfrac{2}{5}\end{cases}\)

или

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=\dfrac{1}{2}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}y=\dfrac{2}{5}\end{cases}\)


Ответ: \(\displaystyle x=\frac{1}{2}{\small ,}\;y=\frac{2}{5}{\small .}\)