Используя метод подстановки, решите систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\dfrac{5}{7}x-5y=-\dfrac{23}{14},\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3}x+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small .}\end{cases}\)
\(\displaystyle x=\)
Дана система линейных уравнений:
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\dfrac{5}{7}x-5y=-\dfrac{23}{14}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3}x+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small .}\end{cases}\)
Для того чтобы воспользоваться методом подстановки, надо выразить одну из переменных через другую.
Используем первое уравнение системы, чтобы выразить переменную \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y\,{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{array}{c}\dfrac{5}{7}x-5y=-\dfrac{23}{14}{\small ,}\\[15px]\dfrac{5}{7}x=5y-\dfrac{23}{14}{\small ,}\\[15px]\left(\dfrac{5}{7}x\right):\dfrac{5}{7}=\left(5y-\dfrac{23}{14}\right):\dfrac{5}{7}{\small ,}\\[15px]x=\left(5y-\dfrac{23}{14}\right)\cdot \dfrac{7}{5}{\small ,}\\[15px]x=\left(5\cdot \dfrac{7}{5}\right)y-\dfrac{23}{14}\cdot \dfrac{7}{5}{\small ,}\\[15px]x=7y-\dfrac{23}{10}{\small .}\end{array}\)
Далее, в исходной системе
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\color{blue}{\dfrac{5}{7}x-5y=-\dfrac{23}{14}}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3}x+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}\end{cases}\)
заменим первое уравнение \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{5}{7}x-5y=-\frac{23}{14}}\) на \(\displaystyle \color{green}{x=7y-\frac{23}{10}}{\small .}\) Тогда:
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\color{green}{x=7y-\dfrac{23}{10}}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3}x+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small .}\end{cases}\)
Теперь, так как известно, что \(\displaystyle \color{green}{x}=\color{green}{7y-\frac{23}{10}}{\small ,}\) то во втором линейном уравнении можно вместо \(\displaystyle \color{green}{x}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{7y-\frac{23}{10}}\) (метод подстановки):
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\color{green}{x=7y-\dfrac{23}{10}}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\dfrac{2}{3} \cdot \left(\color{green}{7y-\dfrac{23}{10}}\right)+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small .}\end{cases}\)
Получаем систему, в которой второе уравнение – это линейное уравнение от одной переменной \(\displaystyle y\,{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small .}\)
Решим его, чтобы найти \(\displaystyle y\,{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{array}{c}\dfrac{2}{3}\cdot \left(7y-\dfrac{23}{10}\right)+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small ,}\\[15px]\left(\dfrac{2}{3}\cdot 7\right)y-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{23}{10}+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small ,}\\[15px]\dfrac{14}{3}y-\dfrac{23}{15}+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}{\small ,}\\[15px]\dfrac{14}{3}y+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{23}{15}+\dfrac{8}{15}{\small ,}\\[15px]\dfrac{31}{6}y=\dfrac{31}{15}{\small ,}\\[15px]y=\dfrac{31}{15}:\dfrac{31}{6}{\small ,}\\[15px]y=\dfrac{31}{15}\cdot\dfrac{6}{31}{\small ,}\\[15px]y=\dfrac{2}{5}{\small .}\end{array}\)
Далее в системе
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=7y-\dfrac{23}{10}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\color{blue}{\dfrac{2}{3} \cdot \left(7y-\dfrac{23}{10}\right)+ \dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{15}}\end{cases}\)
второе линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}{\frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}}\) заменяем на \(\displaystyle \color{green}{y=\frac{2}{5}}{\small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=7y-\dfrac{23}{10}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\color{green}{y=\dfrac{2}{5}}{\small .}\end{cases}\)
Снова применим метод подстановки – в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle y\) подставим число \(\displaystyle {\bf \frac{2}{5}}{\small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=7\cdot {\bf \dfrac{2}{5}}-\dfrac{23}{10}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}y=\dfrac{2}{5}\end{cases}\)
или
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=\dfrac{1}{2}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}y=\dfrac{2}{5}\end{cases}\)
Ответ: \(\displaystyle x=\frac{1}{2}{\small ,}\;y=\frac{2}{5}{\small .}\)