Теория: Метод подстановки

Дана система линейных уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5x+3y=&25{\small ,}\\3x-8y=&-34{\small .}\end{aligned}\right.\)

Для того чтобы воспользоваться методом подстановки, надо выразить одну из переменных через другую.

Используем первое уравнение системы, чтобы выразить переменную \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y\,{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{array}{c}5x+3y=25{\small ,}\\[5px]5x=-3y+25{\small ,}\\[5px]x=-\dfrac{3}{5}y+5{\small .}\end{array}\)

Далее, в исходной системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{5x+3y=}&\color{blue}{25}{\small ,}\\3x-8y=&-34\end{aligned}\right.\)

заменим первое уравнение \(\displaystyle \color{blue}{5x+3y=25}\) на \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{3}{5}y+5}{\small .}\) Тогда

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\color{green}{x=-\dfrac{3}{5}y+5}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}3x-8y=-34{\small .}\end{cases}\)

Теперь, так как известно, что  \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{3}{5}y+5}{\small ,}\) во втором линейном уравнении можно вместо \(\displaystyle \color{green}{x}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{-\frac{3}{5}y+5}\) (метод подстановки):

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}\color{green}{x=-\dfrac{3}{5}y+5}{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}3\cdot \left(\color{green}{-{\small \dfrac{3}{5}}y+5}\right)-8y=-34{\small .}\end{cases}\)

Получаем систему, в которой второе уравнение – это линейное уравнение от одной переменной \(\displaystyle y\,{\small :}\)

\(\displaystyle 3\cdot \left(-\frac{3}{5}y+5\right)-8y=-34{\small .}\)

Решим его, чтобы найти \(\displaystyle y\,{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{array}{c}3\cdot \left(-\dfrac{3}{5}y+5\right)-8y=-34{\small ,}\\[15px]-\left(3\cdot \dfrac{3}{5}\right)y+3\cdot 5-8y=-34{\small ,}\\[15px]-\dfrac{9}{5}y+15-8y=-34{\small ,}\\[15px]-\dfrac{9}{5}y-8y=-15-34{\small ,}\\[15px]-\dfrac{49}{5}y=-49{\small ,}\\[10px]y=5{\small .}\end{array}\)

Далее в системе

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=-\dfrac{3}{5}y+5{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\color{blue}{3\cdot \left(-{\small \dfrac{3}{5}y+5}\right)-8y=-34}\end{cases}\)

второе линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}{3\cdot \left(-\frac{3}{5}y+5\right)-8y=-34}\) заменяем на \(\displaystyle \color{green}{y=5}{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=-\dfrac{3}{5}y+5{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}\color{green}{y=5}{\small .}\end{cases}\)

Снова применим метод подстановки – в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle y\) подставим число \(\displaystyle {\bf 5}{\small .}\) Получаем:

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x=-\dfrac{3}{5}\cdot {\bf5}+5{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}y=5\end{cases}\)

или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=2{\small ,}\\&y=5{\small .}\end{aligned}\right.\)

Ответ: \(\displaystyle x=2{\small ,}\;y=5{\small .}\)