Найдите значение выражения
\(\displaystyle \frac{54^{\frac{1}{3}}}{ 2^{\frac{1}{3}}}\small.\)
Используем
Свойства степени с рациональным показателем
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle r_1\) и \(\displaystyle r_2\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 1) \ a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}\small,\)
\(\displaystyle 2)\ a^{r_1}: a^{r_2}=a^{r_1-r_2}\small,\)
\(\displaystyle 3)\ \left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1\cdot r_2} \small.\ \ \ \)
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle b>0\small,\) \(\displaystyle r\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 4) \ (ab)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}\small,\)
\(\displaystyle 5)\ \left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}\small.\ \ \ \ \)
По свойству \(\displaystyle 5)\) при \(\displaystyle a=54\small,\) \(\displaystyle b=2\small,\) \(\displaystyle r=\frac{1}{3}\) получим
\(\displaystyle \frac{54^{\frac{1}{3}}}{ 2^{\frac{1}{3}}}=\left(\frac{54}{2}\right)^{\frac{1}{3}}=27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27^1}=\sqrt[3]{27}=3\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 3\small.\)