В треугольнике \(\displaystyle ABC\) известны длины всех трёх сторон:
\(\displaystyle AB=21{\small ,\;}BC=17{\small ,\;}AC=11{\small .}\)
Расставьте в порядке возрастания величин углы этого треугольника.
\(\displaystyle <\)\(\displaystyle <\)
Взаимное расположение сторон и углов треугольника подчиняется следующим правилам:
- самая длинная сторона треугольника расположена напротив его угла, имеющего наибольшую величину;
- самая короткая сторона треугольника противолежит углу с наименьшей величиной.
То есть, если углы треугольника расположить в порядке возрастания (убывания) их величин, то в том же порядке расположатся длины расположенных напротив этих углов сторон.
На рисунке треугольник, в котором величины углов подчинены двойному неравенству \(\displaystyle \alpha<\beta<\gamma{\small .}\)
Для противолежащих им сторон можно записать такое же неравенство: \(\displaystyle a<b<c{\small .}\)
Правило применимо и "в обратном направлении": если упорядочить стороны треугольника, так же упорядочатся противолежащие им углы.
В нашем случае длины сторон так упорядочиваются по возрастанию длины: \(\displaystyle 11<17<21{\small .}\)
Заменим числа на обозначения сторон: \(\displaystyle AC<BC<AB{\small .}\)
Сделаем примерный рисунок, используя эти обозначения в произвольном неравнобедренном треугольнике.
Выписываем в том же порядке, что и стороны, углы треугольника, противолежащие этим сторонам.
Ответ: \(\displaystyle \angle ABC<\angle BAC<\angle ACB{\small .}\)