Сторона \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) равна стороне \(\displaystyle KM\) треугольника \(\displaystyle KLM{\small .}\)
Известны величины отмеченных углов:
\(\displaystyle \angle B=\angle L=62\degree {\small ,\;}~~~\angle C=65\degree {\small ,\;}~~~\angle M=59\degree {\small .}\)
Расставьте правильные знаки в записи отношений длин отрезков и величин углов.
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | \(\displaystyle AC\) | \(\displaystyle AB\) | |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | \(\displaystyle KM\) | \(\displaystyle LM\) | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | \(\displaystyle \angle BAC\) | \(\displaystyle \angle LKM\) | |
| \(\displaystyle 4{\small .}\) | \(\displaystyle KL\) | \(\displaystyle LM\) | |
| \(\displaystyle 5{\small .}\) | \(\displaystyle BC\) | \(\displaystyle KM\) | |
| \(\displaystyle 6{\small .}\) | \(\displaystyle AB\) | \(\displaystyle KL\) |
Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
В треугольнике \(\displaystyle ABC\) это позволяет определить величину угла при вершине \(\displaystyle A{\text :}\)
\(\displaystyle \angle A=180\degree -\angle B-\angle C=180\degree -62\degree -65\degree =53\degree {\small .}\)
В треугольнике \(\displaystyle KLM\) находим величину угла при вершине \(\displaystyle K{\text :}\)
\(\displaystyle \angle K=180\degree -\angle L-\angle M=180\degree -62\degree -59\degree =59\degree \)
Углы при вершинах \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle M\) треугольника \(\displaystyle KLM\) оказались равными, так как совпали их величины.
Если два угла треугольника равны, то им противолежат равные стороны:
\(\displaystyle \angle K=\angle M~~~ { \Large\Rightarrow } ~~~ KL = LM {\small .}\)
В треугольнике напротив большего из двух углов расположена более длинная из двух противолежащих этим углам сторон.
Более строго:
- если в треугольнике одна сторона больше другой, то величина лежащего напротив более длинной стороны угла больше величины угла, лежащего напротив более короткой стороны;
- если в треугольнике величина одного угла больше величины другого, то длина стороны, расположенной напротив большего угла, больше длины стороны, противолежащей меньшему углу.
На рисунке треугольник, в котором обозначены длины двух сторон и величины противолежащих им углов. Соотношение углов согласовано с соотношением сторон:
\(\displaystyle a<b~~{\Large\Rightarrow}~~\alpha<\beta{\small .}\) Обратно: \(\displaystyle \alpha<\beta~~{\Large\Rightarrow}~~a<b{\small .}\)
Учитывая возможность равенства сторон, можно использовать как знак строгого, так и знак нестрогого неравенства.
Нам известны все величины углов обоих треугольников. Упорядочив углы по их величинам, получим соотношения сторон.
В треугольнике \(\displaystyle ABC\) для величин углов выполнены неравенства \(\displaystyle \angle A~< \angle B ~< \angle C{\small .}\)
Этот порядок углов переносится на порядок противолежащих им сторон:
\(\displaystyle BC< AC< AB{\small .}\)
В треугольнике \(\displaystyle KLM\) углы соотносятся так: \(\displaystyle \angle K= \angle M < \angle L{\small .}\)
Этот порядок углов переносится на порядок противолежащих им сторон:
\(\displaystyle LM=KL< KM{\small .}\)
| СООТНОШЕНИЕ | ОБОСНОВАНИЕ | |
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | \(\displaystyle AC<AB\) | Одно из соотношений в треугольнике \(\displaystyle ABC{\small .}\) |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | \(\displaystyle KM>LM\) | Одно из соотношений в треугольнике \(\displaystyle KLM{\small .}\) |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | \(\displaystyle \angle BAC<\angle LKM\) | Величины этих углов вычислены в первом пункте и составляют соответственно \(\displaystyle 53\degree \) и \(\displaystyle 59\degree {\small .}\) |
| \(\displaystyle 4{\small .}\) | \(\displaystyle KL=LM\) | Равенство установлено в первом пункте по признаку равнобедренного треугольника. |
| \(\displaystyle 5{\small .}\) | \(\displaystyle BC<KM\) | Из соотношений в треугольнике \(\displaystyle ABC\) известно, что \(\displaystyle BC<AC{\small .}\) А отрезок \(\displaystyle AC\) по условию равен отрезку \(\displaystyle KM{\small .}\) |
| \(\displaystyle 6{\small .}\) | \(\displaystyle AB>KL\) | Из соотношений в треугольнике \(\displaystyle ABC\) известно, что \(\displaystyle AB>AC{\small .}\) Отрезок \(\displaystyle AC\) по условию равен отрезку \(\displaystyle KM{\small .}\) Из соотношений в треугольнике \(\displaystyle KLM\) известно, что \(\displaystyle KM>KL{\small .}\) \(\displaystyle AB>AC=KM>KL{\small .}\) |
| Ответ: |  |