Skip to main content

Теория: 01 Соотношение между сторонами и углами в треугольнике

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) сторона \(\displaystyle AC\) короче стороны \(\displaystyle BC{\small .}\)

Проведена медиана \(\displaystyle CM{\small .}\) Величины углов, которые она образует со сторонами \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC{\small ,}\) обозначены  соответственно через \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\)

Требуется сравнить величины \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\)

Для этого следует сделать так, чтобы углы с этими величинами стали углами одного треугольника. В таком треугольнике должно быть известно, какая из противолежащих этим углам сторон короче другой.

Дополните предложенными фрагментами рассуждение, которое позволяет реализовать эту идею.

\(\displaystyle 1{\small .}\)На продолжении медианы \(\displaystyle CM\) за точку \(\displaystyle M\) отложим отрезок \(\displaystyle MD{\small ,}\) равный отрезку \(\displaystyle CM{\small .}\)
\(\displaystyle 2{\small .}\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle 3{\small .}\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle 4{\small .}\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle 5{\small .}\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle 6{\small .}\) Перетащите сюда правильный ответ

 

Решение

Восстановим доказательство, последовательно подбирая необходимые фрагменты из предложенных.  

1. Дополнительное построение в первом пункте вводит в рассмотрение точку \(\displaystyle D{\small .}\) Она становится третьей вершиной треугольника, равного треугольнику \(\displaystyle ACM{\small .}\)

Дополним рисунок отрезком \(\displaystyle BD\) и рассмотрим треугольники \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BDM{\small .}\)

Эти треугольники имеют две пары равных сторон, прилежащих к равным углам:

\(\displaystyle \begin{cases} ~AM=BM ~~{\footnotesize\it (по~определению~медианы)}\\ ~CM=DM~~{\footnotesize\it (по~построению)}\\ ~\angle AMC=\angle BMD~~{\footnotesize\it (вертикальные~углы)}\end{cases}\)

Этот набор равных элементов позволяет применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Значит, треугольники \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BDM\) равны по первому признаку.

Находим два правильных фрагмента для заполнения второй и третьей строк:

  • в первом описывается набор трёх пар равных элементов (обратим внимание на обоснования равенства в каждой паре);
  • во втором делается вывод о равенстве треугольников \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BDM\) (проверяем номер  признака и правильное описание условий его применения).

2. Равенство треугольников позволяет обосновать равенство их элементов.

В равных треугольниках равны стороны, расположенные напротив равных углов, и углы, расположенные напротив равных сторон.

Равенство треугольников \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BDM\) означает, что:

  • углы \(\displaystyle ACD\) и \(\displaystyle BDC\) равны, так как расположены напротив равных сторон \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BM{\text ;}\) оба угла имеют величину \(\displaystyle \alpha{\text ;}\)
  • стороны \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) равны, так как расположены напротив равных (вертикальных) углов.

Для заполнения четвёртой и пятой строк подбираем фрагменты с этими выводами о равенстве элементов равных треугольников. 

3. Равенство треугольников \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BDM\) сделало \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta\) величинами углов одного треугольника. Это позволяет сравнить их с помощью правила о соотношении сторон и углов в треугольнике.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BCD{\small .}\)

Сторона \(\displaystyle BC\) длиннее стороны \(\displaystyle BD{\small ,}\) так как последняя равна отрезку \(\displaystyle AC{\small .}\) А он по условию короче отрезка \(\displaystyle BC{\small .}\) Это рассуждение описано в уже отобранном для пятой строки ответа фрагменте.

Величины углов, расположенных в треугольнике \(\displaystyle BCD\) напротив сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle BD{\small ,}\) как раз являются сравниваемыми величинами \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\)

Если одна сторона треугольника больше другой, то напротив неё расположен больший (из двух) угол.

Значит, величина \(\displaystyle \alpha\) больше величины \(\displaystyle \beta{\small .}\)

Заканчиваем заполнение пропусков фрагментом с этим выводом.

Ответ: