Skip to main content

Теория: 02 Прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов

Задание

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) стороны \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle CD\) равны, а сторона \(\displaystyle AD\) в два раза длиннее стороны \(\displaystyle AB{\small .}\)

Известны величины углов при вершинах \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small : }\)

\(\displaystyle \angle ABC=136\degree {\small ,\;}~~~\angle BCD=88\degree {\small .}\)

Найдите величину угла при вершине \(\displaystyle D{\small .}\)

\(\displaystyle \angle ADC=\)\(\displaystyle \degree \)

Решение

1. Воспользуемся равенством двух сторон четырёхугольника: сделаем их сторонами равнобедренного треугольника.

Соединим отрезком вершины \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D{\small .}\) 

Рассмотрим полученный равнобедренный треугольник \(\displaystyle CBD\) с основанием \(\displaystyle BD{\small .}\)

Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree{\small .} \)

Найдём сумму величин углов при вершинах \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) треугольника \(\displaystyle BCD\) вычитанием величины угла при вершине \(\displaystyle C\) из \(\displaystyle 180\degree {\text :}\)

\(\displaystyle \angle BDC+\angle CBD=180\degree -\angle BCD=180\degree -88\degree =92\degree {\small .}\)

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Значит, величина каждого из углов \(\displaystyle BDC\) и \(\displaystyle CBD\) равна половине вычисленной суммы:

\(\displaystyle \angle BDC=\angle CBD=\frac{\,92\degree }{2}=46\degree {\small .}\)

2. Найдём величину угла \(\displaystyle ABD{ \small ,}\) пользуясь тем, что он является частью угла \(\displaystyle ABC\) известной величины.

Угол \(\displaystyle ABC\) и его часть \(\displaystyle CBD\) имеют известные нам величины:

\(\displaystyle \angle ABC=136\degree {\small ,\;}~~\angle CBD=46\degree{\small .} \)

Угол \(\displaystyle ABD\) является второй частью угла \(\displaystyle ABC{\small ,}\) составляющей его вместе с углом \(\displaystyle CBD{\small .}\)

Найдём его величину как разность величин угла \(\displaystyle ABC\) и его известной части:

\(\displaystyle \angle ABD=\angle ABC-\angle CBD=136\degree -46\degree =90\degree {\small .}\)

Получается, что треугольник \(\displaystyle ABD\) прямоугольный.

3. В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABD\) угол при вершине \(\displaystyle D\) имеет величину \(\displaystyle 30\degree {\small .}\)

По условию отрезок \(\displaystyle AB\) в два раза короче отрезка \(\displaystyle AD{\small .}\)

В треугольнике \(\displaystyle ABD\) эти отрезки являются катетом и гипотенузой.

Если катет прямоугольного треугольника в два раза больше гипотенузы, то напротив него расположен угол треугольника величиной \(\displaystyle 30\degree {\small .}\)

Значит, величина угла при вершине \(\displaystyle D\) прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABD\) равна \(\displaystyle 30\degree {\text :}\)

\(\displaystyle \angle ADB=30\degree {\small .}\)

4. Остаётся найти величину искомого угла, сложив величины его частей.

Угол \(\displaystyle ADC\) составлен из частей \(\displaystyle ADB\) и \(\displaystyle BDC{\small ,}\) величины которых найдены:

\(\displaystyle \angle ADB=30\degree {\small ,\;}~~\angle BDC=46\degree{\small .} \)

Найдём величину угла как сумму величин составляющих его частей:

\(\displaystyle \angle ADC=\angle ADB+\angle BDC=30\degree +46\degree =76\degree {\small .}\)

Ответ \(\displaystyle \angle ADC=76\degree {\small .}\)