В треугольнике \(\displaystyle ABC\) с прямым углом при вершине \(\displaystyle C\) провели высоту \(\displaystyle CH{\small .}\)
Известны длины двух отрезков: \(\displaystyle BH=13\) и \(\displaystyle BC=26{\small .}\)
Найдите длину стороны \(\displaystyle AB{\small .}\)
\(\displaystyle AB=\)
Треугольник \(\displaystyle BCH\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(\displaystyle H{\small ,}\) так как его сторона \(\displaystyle CH\) является высотой треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
В нём известны длины сторон: \(\displaystyle BH=13\) и \(\displaystyle BC=26{\small .}\)
Заметим, что катет \(\displaystyle BH\) в два раза короче гипотенузы \(\displaystyle BC{\small .}\)
Значит, угол треугольника, расположенный напротив этого катета, имеет величину \(\displaystyle 30\degree {\text :}\)
\(\displaystyle \angle BCH=30\degree {\small .}\)
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Это позволяет найти величину второго острого угла треугольника \(\displaystyle BCH{\text :}\)
\(\displaystyle \angle CBH=90\degree -\angle BCH=90\degree -30\degree =60\degree {\small .}\)
Угол при вершине \(\displaystyle B\) треугольника \(\displaystyle BCH\) является также острым углом прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Вычисляем величину второго острого угла треугольника \(\displaystyle ABC:\)
\(\displaystyle \angle BAC=90\degree -\angle ABC=90\degree -60\degree =30\degree {\small .}\)
В прямоугольном треугольнике с углом величиной \(\displaystyle 30\degree \) напротив этого угла расположен катет в два раза меньший гипотенузы.
Значит,
\(\displaystyle AB=2\cdot BC=2\cdot 26=52{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle AB=52{\small .}\)