Представьте выражение \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{8}} \) \(\displaystyle (a \geqslant 0)\) в виде степени с целым показателем.
| \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{8}}=\) | \(\displaystyle a\) |
Чтобы извлечь корень, представим подкоренное выражение в виде четвёртой степени:
\(\displaystyle \sqrt[4]{ a^{8}}= \sqrt[4]{ \left( a^{\,2} \right)^{4}} {\small . } \)
Воспользуемся правилом для арифметического корня чётной степени:
Для любого числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle k \in \N\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt[2k]{ a^{\,2k}}= \left|a\,\right|{\small . } \)
Получаем:
\(\displaystyle \sqrt[4]{ \left( a^{2} \right)^{4}}= \left|a^{2} \right|{\small . } \)
Так как \(\displaystyle a^2 \geqslant 0{\small } \) при любых значениях \(\displaystyle a{\small , }\)
\(\displaystyle \left| a^{2} \right|=a^{2}{\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle \sqrt[4]{ a^{8}}=\sqrt[4]{ \left( a^{\,2} \right)^{4}}= \left| a^{2} \right|=a^{2}{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle a^{2}{\small . } \)