Представьте выражение \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{8}b^{\,16}} \) \(\displaystyle (a \geqslant 0 {\small ,}\,\,b \leqslant 0)\) в виде произведения степеней с целыми показателями (при необходимости поставьте перед произведением знак).
| \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{8}b^{\,16}}=\) | \(\displaystyle a\) | \(\displaystyle \cdot \,b\) |
Требуется представить выражение \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{8}b^{\,16}} \) в виде произведения.
Так как \(\displaystyle a^8 \geqslant 0{\small } \) и \(\displaystyle b^{\,16} \geqslant 0{\small } \) при любых значениях \(\displaystyle a{\small }\) и \(\displaystyle b{\small ,}\) можем воспользоваться
Получим:
\(\displaystyle \sqrt[4]{a^{8}b^{\,16}}= \sqrt[4]{a^{8}} \cdot \sqrt[4]{b^{\,16}}\)
Представим подкоренные выражения в виде четвёртых степеней:
\(\displaystyle \sqrt[4]{a^{8}} \cdot \sqrt[4]{b^{\,16}}=\sqrt[4] {\left( a^{\,2} \right)^{4}} \cdot \sqrt[4] {\left( b^{\,4} \right)^{4}} {\small . } \)
и получим:
\(\displaystyle \sqrt[4] {\left( a^{\,2} \right)^{4}} \cdot \sqrt[4] {\left( b^{\,4} \right)^{4}} =\left| a^{2} \right| \cdot \left| b^{\,4} \right| {\small . } \)
Так как \(\displaystyle a^2 \geqslant 0{\small } \) и \(\displaystyle b^{\,4} \geqslant 0{\small } \) при любых значениях \(\displaystyle a{\small }\) и \(\displaystyle b{\small }\) (в том числе и при \(\displaystyle a \geqslant 0 {\small ,}\,\,b \leqslant0\)), то
\(\displaystyle \left| a^{2} \right|=a^{2}\) и \(\displaystyle \left| b^{\,4} \right|=b^{\,4}{\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle \sqrt[4]{ a^{8}b^{\,16}}=\sqrt[4] {\left( a^{\,2} \right)^{4}} \cdot \sqrt[4] {\left( b^{\,4} \right)^{4}}= \left| a^{2} \right| \cdot \left| b^{\,4} \right|=a^{2} \cdot b^{\,4}{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle a^{2} \cdot b^{\,4}{\small . } \)