Представьте выражение \(\displaystyle \sqrt[4]{16a^{8}} \) \(\displaystyle (a \geqslant 0)\) в виде произведения числа и степени с целым показателем (при необходимости поставьте перед произведением знак).
| \(\displaystyle \sqrt[4]{16a^{8}}=\) | \(\displaystyle \cdot \,a\) |
Требуется извлечь корень четвёртой степени.
\(\displaystyle 16a^{8}=\left( 2a^{\,2} \right)^{\!4}{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \sqrt[4]{ 16a^{8}}= \sqrt[4]{ \left( 2a^{\,2} \right)^{4}} {\small . } \)
Для любого числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle k \in \N\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt[2k]{ a^{\,2k}}= \left|a\,\right|{\small . } \)
и получим:
\(\displaystyle \sqrt[4]{ \left( 2a^{2} \right)^{4}}= \left|2a^{2} \right|=2\left|a^{2} \right|{\small . } \)
Так как \(\displaystyle a^2 \geqslant 0{\small } \) при любых значениях \(\displaystyle a{\small , }\)
\(\displaystyle \left| a^{2} \right|=a^{2}{\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle \sqrt[4]{ 16a^{8}}=\sqrt[4]{ \left( 2a^{\,2} \right)^{4}}= 2\left| a^{2} \right|=2a^{2}{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle 2a^{2}{\small . } \)