Представьте выражение \(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{a^{8}}{b^{\,16}}} \) \(\displaystyle (a \leqslant 0 {\small ,}\,\,b>0)\) в виде отношения степеней с натуральным показателем) (при необходимости поставьте перед отношением знак).
| \(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{a^{8}}{b^{\,16}}} =\) | ||
Требуется представить выражение \(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{a^{8}}{b^{\,16}}} \) в виде дроби.
Так как \(\displaystyle a^8 \geqslant 0{\small } \) и \(\displaystyle b^{\,16} > 0{\small } \) при любых значениях \(\displaystyle a{\small }\) и \(\displaystyle b=\not 0{\small ,}\) можем воспользоваться
Получим
\(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{a^{8}}{b^{\,16}}} =\frac {\sqrt[4] {a^{8}}} {\sqrt[4] {b^{\,16}}}{\small . }\)
Представим подкоренные выражения в виде четвёртых степеней:
\(\displaystyle \frac {\sqrt[4] {a^{8}}} {\sqrt[4] {b^{\,16}}}=\frac {\sqrt[4] {\left( a^{\,2} \right)^{4}}} {\sqrt[4] {\left( b^{\,4} \right)^{4}}}{\small . } \)
и получим:
\(\displaystyle \frac {\sqrt[4] {\left( a^{\,2} \right)^{4}}} {\sqrt[4] {\left( b^{\,4} \right)^{4}}} = \frac { \left| a^{2} \right|}{ \left| b^{\,4} \right|}{\small . }\)
Так как \(\displaystyle a^2 \geqslant 0{\small } \) и \(\displaystyle b^{\,4} > 0{\small } \) при любых значениях \(\displaystyle a{\small }\) и \(\displaystyle b{\small }\) (в том числе и при \(\displaystyle a \leqslant 0 {\small ,}\,\,b>0\)), то
\(\displaystyle \left| a^{2} \right|=a^{2}\) и \(\displaystyle \left| b^{\,4} \right|=b^{\,4}{\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{a^{8}}{b^{\,16}}} =\frac {\sqrt[4] {a^{8}}} {\sqrt[4] {b^{\,16}}}=\frac { \left| a^{2} \right|}{ \left| b^{\,4} \right|}=\frac { a^{2}}{b^{\,4} }{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle \frac { a^{2}}{b^{\,4} }{\small . } \)