Упростите выражение:
Так как в выражении встречается \(\displaystyle \sqrt [6]{a}{\small,}\) то \(\displaystyle a\geqslant 0{\small,}\) и мы можем использовать свойства арифметического корня.
Шаг 1. Упростим первую дробь.
\(\displaystyle \frac{\sqrt [3 ]{a}}{\sqrt [3 ]{a}+2\sqrt [6 ]{a}}=\frac{\sqrt [6 ]{a^2}}{\sqrt [6 ]{a^2}+2\sqrt [6 ]{a}}=\frac{ \left( \sqrt[6 ]{a} \right)^{\,2}}{ \left( \sqrt[6 ]{a} \right)^{\,2}+2\sqrt [6 ]{a}}{\small .}\)
Вынесем в знаменателе дроби общий множитель \(\displaystyle \sqrt [6]{a}\) за скобку и сократим дробь
\(\displaystyle \frac{ \left( \sqrt[6]{a} \right)^{\,2}}{ \left( \sqrt[6]{a} \right)^{\,2}+2\sqrt [6]{a}}=\frac{ \left( \sqrt[6]{a} \right)^{\,2}}{\sqrt [6]{a} \cdot \left( \sqrt [6]{a} +2 \right)}=\frac{ \cancel{\sqrt[6]{a}} \cdot \sqrt[6]{a}}{\cancel{\sqrt [6]{a}} \cdot \left( \sqrt [6]{a} +2 \right)}=\frac{\sqrt [6]{a}}{ \sqrt [6]{a} +2 }{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{purple}{\frac{\sqrt [3]{a}}{\sqrt [3 ]{a}+2\sqrt [6]{a}}=\frac{\sqrt [6]{a}}{ \sqrt [6]{a} +2 }}{\small .}\)
Шаг 2. Упростим вторую дробь.
\(\displaystyle \frac{2\sqrt [6 ]{a^{\,5}}}{a+2\sqrt [6 ]{a^{\,5}}}=\frac{2 \left( \sqrt [6 ]{a}\right)^{5}}{ \left( \sqrt[6 ]{a} \right)^{6}+2 \left( \sqrt [6 ]{a}\right)^{5}}{\small .}\)
Вынесем в знаменателе дроби общий множитель \(\displaystyle \left( \sqrt [6 ]{a}\right)^{5}\) за скобку и сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{2 \left( \sqrt [6]{a}\right)^{5}}{ \left( \sqrt[6] {a} \right)^{6}+2 \left( \sqrt [6] {a}\right)^{5}}=\frac{ 2\left( \sqrt[6]{a} \right)^{5}}{\left( \sqrt[6]{a} \right)^{5} \cdot \left( \sqrt [6]{a} +2 \right)}=\frac{ 2 \cancel{\left( \sqrt[6]{a} \right)^{5}}}{\cancel{\left( \sqrt[6]{a} \right)^{5}} \cdot \left( \sqrt [6]{a} +2 \right)}=\frac{2}{ \sqrt [6]{a} +2 }{\small .}{\small }\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{green}{\frac{2\sqrt [6]{a^{5}}}{a+2\sqrt [6]{a^{5}}}=\frac{2}{ \sqrt [6]{a} +2 }}{\small .}\)
Шаг 3. Вернёмся к исходному выражению.
\(\displaystyle \begin{alignedat}{2}\color{purple}{\frac{\sqrt [3]{a}}{\sqrt [3 ]{a}+2\sqrt [6]{a}}}+\color{green}{\frac{2\sqrt [6]{a^{5}}}{a+2\sqrt [6]{a^{5}}}}=\color{purple}{\frac{\sqrt [6]{a}}{ \sqrt [6]{a} +2 }}+\color{green}{\frac{2}{ \sqrt [6]{a} +2 }}=\frac{\cancel{\sqrt [6]{a}+2}}{ \cancel{\sqrt [6]{a} +2} }=1{\small .}\end{alignedat}\)
Ответ: \(\displaystyle 1{\small .}\)