Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{\sqrt [8]{x}}{\sqrt [4]{x}-4\sqrt [8]{x}}=\) |
Так как в выражении встречается \(\displaystyle \sqrt [8]{x}{\small,}\) то \(\displaystyle x\geqslant 0{\small,}\) и мы можем использовать свойства арифметического корня.
\(\displaystyle \frac{\sqrt [8 ]{x}}{\sqrt [4 ]{x}-4\sqrt [8 ]{x}}=\frac{\sqrt [8 ]{x}}{\sqrt [8 ]{x^2}-4\sqrt [8 ]{x}}=\frac{ \sqrt [8 ]{x}}{ \left( \sqrt[8 ]{x} \right)^{\,2}-4\sqrt [8 ]{x}}{\small .}\)
Вынесем в знаменателе дроби общий множитель \(\displaystyle \sqrt [8]{x}\) за скобку:
\(\displaystyle \frac{ \sqrt[8]{x}}{ \left( \sqrt[8]{x} \right)^{\,2}-4\sqrt [8]{x}}=\frac{ \sqrt[8]{x}}{\sqrt [8]{x} \cdot \left( \sqrt [8]{x} -4 \right)}{\small .}\)
Сократим дробь на \(\displaystyle \sqrt [8]{x}\,{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{ \sqrt[8]{x}}{\sqrt [8]{x} \cdot \left( \sqrt [8]{x} -4 \right)}=\frac{ \cancel{\sqrt[8]{x}} }{\cancel{\sqrt [8]{x}} \cdot \left( \sqrt [8]{x} -4 \right)}=\frac{1}{ \sqrt [8]{x} -4 }{\small .}\)
Таким образом, имеем следующую цепочку равенств:
\(\displaystyle \color{purple}{\frac{\sqrt [8]{x}}{\sqrt [4]{x}-4\sqrt [8]{x}}=\frac{\sqrt [8]{x}}{\sqrt [8]{x^2}-4\sqrt [8]{x}}=\frac{ \sqrt[8]{x}}{\sqrt [8]{x} \cdot \left( \sqrt [8]{x} -4 \right)}=\frac{1}{ \sqrt [8]{x} -4 }}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{ \sqrt [8]{x} -4 }{\small .}\)