На рисунке в виде дерева изображен план дорожек парка. Вход в парк – вершина \(\displaystyle S{\small.}\) Иван идёт от входа по дорожкам, на каждой развилке выбирая любую из дорожек с равными шансами (но не возвращаясь).
Расставьте около рёбер недостающие вероятности.
Найдите вероятность, что Иван дойдет до озера.
Будем постепенно расставлять вероятности около рёбер дерева, учитывая, что
- на каждой развилке можно выбрать любую из дорожек с равными шансами,
- нельзя возвращаться обратно.
Вероятности около рёбер \(\displaystyle SA\) и \(\displaystyle SB\) равны \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small .}\)
Вероятности около рёбер \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AD\) равны \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small .}\)
Вероятности около рёбер \(\displaystyle BE{\small ,}\)\(\displaystyle BF\) и \(\displaystyle BG\) равны \(\displaystyle \frac{1}{3}{\small .}\)
Окончательно получаем:
Найдем вероятность, что Иван дойдёт до озера.
Вероятность элементарного события может быть найдена как произведение условных вероятностей вдоль цепи, ведущей к этому событию от начальной вершины.
Чтобы найти вероятность события с помощью дерева, нужно сложить вероятности всех цепочек (элементарных событий), ведущих к этому событию от начальной вершины.
Заметим, что событию "Иван пришёл на озеро" благоприятствуют два элементарных события: \(\displaystyle E\) и \(\displaystyle F{\small .}\)
Значит, искомая вероятность равна сумме произведений вероятностей вдоль цепей \(\displaystyle SBE\) и \(\displaystyle SBF{\small :}\)
\(\displaystyle P(SBE)+P(SBF)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{3}{\small .}\)