Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{27^{-4}}{3^{-6}}:9^{-5}=\)
Представим выражение в виде дроби:
\(\displaystyle \frac{27^{-4}}{3^{-6}}:9^{-5}=\frac{27^{-4}}{3^{-6}\cdot9^{-5}}{\small.}\)
Приведем степени к одинаковым основаниям.
Для этого представим \(\displaystyle 27\) как \(\displaystyle 3^3\) и \(\displaystyle 9\) как \(\displaystyle 3^2{\small:}\)
\(\displaystyle\frac{\color{green}{27}^{-4}}{3^{-6}\cdot\color{blue}{9}^{-5}}=\frac{\left(\color{green}{3^3}\right)^{-4}}{3^{-6}\cdot\left(\color{blue}{3^2}\right)^{-5}}{\small.}\)
Раскроем скобки. При возведении степени в степень показатели этих степеней перемножаются.
То есть
\(\displaystyle\frac{\left({3^3}\right)^{-4}}{3^{-6}\cdot\left({3^2}\right)^{-5}}=\frac{3^{3\cdot{(-4)}}}{3^{-6}\cdot3^{2\cdot{(-5)}}}=\frac{3^{-12}}{3^{{-6}}\cdot3^{-10}}{\small.}\)
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются. А при делении вычитаются.
Значит,
\(\displaystyle \frac{3^{-12}}{3^{{-6}}\cdot3^{-10}}=\frac{3^{-12}}{3^{{-6}+{(-10)}}}=\frac{3^{-12}}{3^{-16}}=3^{-12+16}=3^4=81{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{27^{-4}}{3^{-6}}:9^{-5}=81{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 81{\small.}\)