Упростите выражение:
Результат упрощения не должен содержать отрицательных степеней.
Решение 1.
Представим в виде дроби выражение в числителе:
\(\displaystyle y^{-6}+y^{-9}=\frac{1}{y^{6}}+\frac{1}{y^{9}}=\frac{y^{3} + 1}{y^{9}}{\small.}\)
Тогда исходная дробь примет вид:
\(\displaystyle \frac{y^{-6}+y^{-9}}{y^{5}+y^{2}}=\frac{\small {\dfrac{y^{3} + 1}{y^{9}}}}{y^{5}+y^{2}}{\small.}\)
Заменим дробную черту на знак деления:
\(\displaystyle \frac{\small {\dfrac{y^{3} + 1}{y^{9}}}}{y^{5}+y^{2}}=\frac {y^{3} + 1}{y^{9}}:(y^{5}+y^{2})=\frac {y^{3} + 1}{y^{9}(y^{5}+y^{2})}{\small.}\)
Вынесем в знаменателе за скобку общий множитель \(\displaystyle y^{2}\) и сократим дробь:
\(\displaystyle \frac {y^{3} + 1}{y^{9}(y^{5}+y^{2})}=\frac {\cancel{(y^{3} + 1)}}{y^{9} y^{2}\cancel{(y^{3}+1)}}=\frac {1}{y^{11}}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{y^{-6}+y^{-9}}{y^{5}+y^{2}}=\frac {1}{y^{11}}{\small.}\)
Решение 2.
Заметим, что
- \(\displaystyle y^{-6} \cdot y^{9}=y^{-6+9}= y^{3}{\small,}\\[-7px]\)
- \(\displaystyle y^{-9} \cdot y^{9}=y^{-9+9}= y^{0}=1{\small.}\)
Тогда, умножив числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle y^{9}{\small}\) и раскрыв скобки в числителе, избавимся от отрицательных степеней:
\(\displaystyle \frac{y^{-6}+y^{-9}}{y^{5}+y^{2}}=\frac{(y^{-6}+y^{-9})y^{9}}{(y^{5}+y^{2})y^{9}}=\frac{y^{-6}y^{9}+y^{-9}y^{9}}{(y^{5}+y^{2})y^{9}}=\frac{y^{3}+1}{y^{14}+y^{11}}{\small.}\)
Вынесем в знаменателе общий множитель \(\displaystyle y^{11}\) и сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{y^{3}+1}{y^{14}+y^{11}}=\frac{y^{3}+1}{y^{11}(y^{3}+1)}=\frac{\cancel{y^{3}+1}}{y^{11}\cancel{(y^{3}+1)}}=\frac{1}{y^{11}}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{y^{-6}+y^{-9}}{y^{5}+y^{2}}=\frac{1}{y^{11}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{y^{11}}{\small.}\)