Представьте выражение в виде дроби, не содержащей отрицательные показатели:
- Сначала избавимся от отрицательных степеней в скобках,
- потом выполним возведение в степень \(\displaystyle -1{\small.}\)
1. Представим в виде дробей выражения в числителе и знаменателе исходной дроби:
- \(\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}{\small.}\\[-7px]\)
- \(\displaystyle a^{-2}-b^{-2}=\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}{\small.}\)
Тогда дробь в скобках примет вид:
\(\displaystyle \frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-2}-b^{-2}}=\frac{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}}{\dfrac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}:\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{\cancel{a^{2}b^{2}}}\cdot\frac{\cancel{a^{2}b^{2}}}{b^{2}-a^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}-a^{2}}{\small.}\)
Можно избавиться от отрицательных степеней в скобках, умножив числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle a^{2}b^{2}{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-2}-b^{-2}}=\frac{(a^{-2}+b^{-2})a^{2}b^{2}}{(a^{-2}-b^{-2})a^{2}b^{2}}=\frac{b^{2}+a^{2}}{b^{2}-a^{2}}{\small.}\)
2. Осталось возвести полученную дробь в степень \(\displaystyle -1{\small.}\)
По правилу возведения дроби в отрицательную степень:
\(\displaystyle \left(\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}-a^{2}}\right)^{-1}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \left(\frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-2}-b^{-2}}\right)^{-1}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}}{\small.}\)