Упростите выражение:
Результат упрощения не должен содержать отрицательных степеней.
Решение 1.
Представим в виде дроби выражение в числителе:
\(\displaystyle 3x^{-1}-1=\frac{3}{x}-1=\frac{3-x}{x}{\small.}\)
Тогда исходная дробь примет вид:
\(\displaystyle \frac{3x^{-1}-1}{x-3}=\frac{\small {\dfrac{3-x}{x}}}{x-3}{\small.}\)
Заменим дробную черту на знак деления:
\(\displaystyle \frac{\small {\dfrac{3-x}{x}}}{x-3}=\frac{3-x}{x}:(x-3)=\frac{3-x}{x(x-3)}{\small.}\)
Заметим, что \(\displaystyle 3-x=-(x-3){\small,}\) и сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{3-x}{x(x-3)}=\frac{-(x-3)}{x(x-3)}=-\frac{\cancel{(x-3)}}{x\cancel{(x-3)}}=-\frac{1}{x}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{3x^{-1}-1}{x-3}=-\frac{1}{x}{\small.}\)
Решение 2.
Заметим, что
\(\displaystyle x^{-1} \cdot x=x^{-1+1}= x^{0}=1{\small.}\)
Тогда, умножив числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle x{\small}\) и раскрыв скобки в числителе, избавимся от отрицательной степени:
\(\displaystyle \frac{3x^{-1}-1}{x-3}=\frac{(3x^{-1}-1)x}{(x-3)x}=\frac{3x^{-1}x-x}{(x-3)x}=\frac{3-x}{x(x-3)}{\small.}\)
Воспользуемся тем, что \(\displaystyle 3-x=-(x-3){\small,}\) и сократим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{3-x}{x(x-3)}=-\frac{\cancel{(x-3)}}{x\cancel{(x-3)}}=-\frac{1}{x}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{3x^{-1}-1}{x-3}=-\frac{1}{x}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{1}{x}{\small.}\)