Среди данных выражений только одно тождественно равно выражению
\(\displaystyle \frac{a^{-2}-8a^{-1}b^{-1}+16b^{-2}}{2a^{-2}-8a^{-1}b^{-1}}{\small. }\)
Выберите его.
Преобразуем данное выражение.
- Разложим на множители числитель дроби:
\(\displaystyle a^{-2}-8a^{-1}b^{-1}+16b^{-2}=\left({a^{-1}}-{4b^{-1}}\right)^2{\small .}\)
- В знаменателе вынесем за скобку общий множитель:
\(\displaystyle 2a^{-2}-8a^{-1}b^{-1}=2a^{-1}\left(a^{-1}-4b^{-1} \right){\small .}\)
Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим её:
\(\displaystyle \frac{a^{-2}-8a^{-1}b^{-1}+16b^{-2}}{2a^{-2}-8a^{-1}b^{-1}}=\frac{\left({a^{-1}}-{4b^{-1}}\right)^2}{2a^{-1}\left(a^{-1}-4b^{-1} \right)}=\frac{{a^{-1}}-{4b^{-1}}}{2a^{-1}}{\small .}\)
Полученное выражение тождественно равно исходному, но среди предложенных вариантов ответа его нет.
Продолжим преобразования. Получим:
\(\displaystyle \frac{{a^{-1}}-{4b^{-1}}}{2a^{-1}}=\frac{b-4a}{2b}{\small .}\)
Такой вариант ответа есть.
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{a^{-2}-8a^{-1}b^{-1}+16b^{-2}}{2a^{-2}-8a^{-1}b^{-1}}\) тождественно равно \(\displaystyle \frac{b-4a}{2b}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{b-4a}{2b}{\small .}\)