Известно, что уравнение
\(\displaystyle 2x+3y=8 \)
имеет целочисленное решение \(\displaystyle (x_0;y_0)\small.\)
Может ли остаток от деления \(\displaystyle x_0\) на \(\displaystyle 3\small\) быть равным \(\displaystyle 2\small?\)
Допустим, остаток от деления \(\displaystyle x_0\) на \(\displaystyle 3\small\) равен \(\displaystyle 2\small,\)
\(\displaystyle x_0\equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
Тогда
\(\displaystyle 2x_0\equiv 4 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
Так как \(\displaystyle 4\equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то
\(\displaystyle 2x_0\equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
Число \(\displaystyle 3y_0\) кратно трем,
\(\displaystyle 3y_0\equiv 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
Значит,
\(\displaystyle 2x_0+3y_0 \equiv 1+ 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\)
\(\displaystyle 2x_0+3y_0 \equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
При этом остаток от деления \(\displaystyle 8\) на \(\displaystyle 3\) равен \(\displaystyle 2\small:\)
\(\displaystyle 8\equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
Получили противоречие.
Следовательно, остаток от деления \(\displaystyle x_0\) на \(\displaystyle 3\) не может быть равным \(\displaystyle 2\small.\)
Ответ: не может.