Решите уравнение
\(\displaystyle 3x+4y=11 \)
в целых числах.
Отметим, что \(\displaystyle 3x \equiv 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) \(\displaystyle 11\equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
Так как \(\displaystyle 4y=11-3x\small, \) число \(\displaystyle y \) должно удовлетворять условию \(\displaystyle 4y \equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
Проверим, каким может быть остаток от деления \(\displaystyle y \) на \(\displaystyle 3\small.\)
Рассмотрим варианты \(\displaystyle y \equiv 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) \(\displaystyle y \equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) \(\displaystyle y \equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
- Если \(\displaystyle y \equiv 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то \(\displaystyle 4y \equiv 0 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) и условие не выполняется.
- Если \(\displaystyle y \equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то \(\displaystyle 4y \equiv 4 \hspace{-2mm}\pmod 3\small;\) так как \(\displaystyle 4 \equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то \(\displaystyle 4y \equiv 1 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) и условие не выполняется.
- Если \(\displaystyle y \equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то \(\displaystyle 4y \equiv 8 \hspace{-2mm}\pmod 3\small;\) так как \(\displaystyle 8 \equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) то \(\displaystyle 4y \equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small,\) и условие может выполняться.
Таким образом, условие может выполняться лишь при \(\displaystyle y \equiv 2 \hspace{-2mm}\pmod 3\small.\)
Пусть \(\displaystyle y=3k+2 \small,\) где \(\displaystyle k\)– целое число.
Подставим это выражение в исходное уравнение
\(\displaystyle 3x+4y=11\small. \)
Получим
\(\displaystyle 3x+4\cdot (3k+2)=11\small, \)
\(\displaystyle 3x+12k+8=11\small, \)
\(\displaystyle 3x=-12k+3\small, \)
\(\displaystyle x=-4k+1\small. \)
Следовательно, решения уравнения можно записать в виде \(\displaystyle x=-4k+1, \ y=3k+2\small.\)
Ответ: \(\displaystyle x=-4k+1, \ y=3k+2\small,\) где \(\displaystyle k\)– целое число.