Выберите выражение, которое существует в действительных числах:
Корень из числа \(\displaystyle a \) существует (в действительных числах), если \(\displaystyle a \) неотрицательно.
То есть \(\displaystyle \sqrt{ a} \) существует, если \(\displaystyle a\ge 0{\small . } \)
Проверим данные выражения.
1) \(\displaystyle \sqrt{-2}\)
Так как \(\displaystyle -2<0{\small , } \) то из \(\displaystyle -2 \) нельзя извлечь квадратный корень, и \(\displaystyle \sqrt{-2}\) не существует.
2) \(\displaystyle \sqrt{ 11} \)
Так как \(\displaystyle 11\ge 0{\small , } \) то из \(\displaystyle 11 \) можно извлечь квадратный корень, и \(\displaystyle \sqrt{11}\) существует.
3) \(\displaystyle \sqrt{7-3\cdot 3}\)
Так как \(\displaystyle 7-3\cdot 3=7-9=-2<0{\small , } \) то из \(\displaystyle 7-3\cdot 3 \) нельзя извлечь квадратный корень, и \(\displaystyle \sqrt{7-3\cdot 3}\) не существует.
4) \(\displaystyle \sqrt{-2+2{,}31}\)
Так как \(\displaystyle -2+2{,}31=0{,}31\ge 0{\small , } \) то из \(\displaystyle -2+2{,}31\) можно извлечь квадратный корень, и \(\displaystyle \sqrt{-2+2{,}31}\) существует.
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{11}\) и \(\displaystyle \sqrt{-2+2{,}31}{\small . } \)
Напомним определение квадратного корня.
Квадратный корень
Квадратным корнем из числа \(\displaystyle a \) называется такое число \(\displaystyle b{\small , } \) что \(\displaystyle b^{\,2}=a{\small . } \)
Пусть \(\displaystyle a\) – некоторое число, из которого можно извлечь квадратный корень, то есть найдется такое число \(\displaystyle b{\small , } \) что \(\displaystyle a=b^{\,2}{\small . } \) Тогда
\(\displaystyle a=b^{\,2}\ge 0{\small .}\)
Поэтому квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа.