Для положительных \(\displaystyle v\) и \(\displaystyle w\) представьте корень как частное корней:
| \(\displaystyle \sqrt{\frac{v}{w}}=\) |
Для отрицательных \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) представьте корень как частное корней:
| \(\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}}=\) |
Корень из частного
Для любых неотрицательных чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b=\not 0 \) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{ \frac{a}{b}}= \frac{\sqrt{ a}}{\sqrt{ b}} \)
Рассмотрим иррациональное выражение \(\displaystyle \sqrt{\frac{v}{w}} {\small .}\)
Для того чтобы использовать приведенное выше правило, как числитель, так и знаменатель дроби в данном выражении должны быть неотрицательными.
Поскольку по условию \(\displaystyle v>0 \) и \(\displaystyle w>0{\small , } \) то правило можно применить сразу. Получаем:
\(\displaystyle \sqrt{\frac{v}{w}}= \frac{ \sqrt{ v} }{ \sqrt{w} } {\small . } \)
Аналогично представим в виде дроби иррациональное выражение \(\displaystyle \frac{x}{y}{\small . }\)
По условию \(\displaystyle x \) и \(\displaystyle y \) – отрицательны, то есть \(\displaystyle x<0 \) и \(\displaystyle y<0{\small . } \) Тогда \(\displaystyle -x>0 \) и \(\displaystyle -y> 0{\small .}\)
Так как выражение \(\displaystyle \frac{x}{y}= \frac{-x}{-y} \) представлено в виде дроби, числитель и знаменатель которой \(\displaystyle -x\) и \(\displaystyle -y \) положительны, то по правилу корня из частного получаем:
\(\displaystyle \sqrt{ \frac{x}{y}}= \sqrt{ \frac{-x}{-y}}=\frac{ \sqrt{ -x} }{ \sqrt{-y} } {\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{\frac{v}{w}}= \frac{ \sqrt{ v} }{ \sqrt{w} } \, {\small ; }\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{ \sqrt{ -x} }{ \sqrt{-y} }{\small . } \)