Пусть \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения
\(\displaystyle x^2+3x-2=0{\small .}\)
Найдите сумму и произведение его корней:
\(\displaystyle x_1+x_2=\)
\(\displaystyle \,\,\,x_1\cdot x_2=\)
По условию, \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+3x-2=0{\small .} \)
Воспользуемся теоремой Виета.
Теорема Виета
Если \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small .}\)
То для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ a}}{ \small ,}\\[10px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ c}}{\color{red}{ a}}{\small.}\end{aligned}\right. \)
Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:
\(\displaystyle x^2+3x-2=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 3}x\color{blue}{ -2}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1},\, \color{green}{ b}=\color{green}{ 3},\, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -2}{\small .} \)
Значит, по теореме Виета
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ 3}}{\color{red}{ 1}}=-3{ \small ,}\\[10px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ -2}}{\color{red}{ 1}}=-2{\small .}\end{aligned}\right. \)
| Ответ: | \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-3{ \small ,}\\ x_1\cdot x_2&=-2{\small .} \end{aligned}\right. \) |