Найдите коэффициенты квадратного уравнения
если известно, что числа \(\displaystyle \frac{3}{5}\) и \(\displaystyle -\frac{1}{5}\) – его корни, а коэффициенты уравнения – натуральные числа.
Запишем квадратное уравнение в общем виде:
\(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small .} \)
Поскольку в заданном в условии уравнении старший коэффициент неизвестен, то будем считать его равным одному. Тогда уравнение будеть иметь вид
\(\displaystyle x^2+...=0{\small .}\)
Перепишем это уравнение так, чтобы его старший коэффициент был записан в явном виде:
\(\displaystyle \color{red}{ 1}\cdot x^2+...=0{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{\small .} \)
Используем теорему Виета.
Теорема Виета
Если \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small .}\)
То для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ a}}{ \small ,}\\[5px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ c}}{\color{red}{ a}}{\small .}\end{aligned}\right. \)
Тогда, поскольку корни уравнения равны \(\displaystyle \frac{3}{5}\) и \(\displaystyle -\frac{1}{5}{\small ,} \) то \(\displaystyle x_1=\frac{3}{5}\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{1}{5} {\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ 1}}{ \small ,}\\[10px]\frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{1}{5}\right)&=\frac{ \color{blue}{ c}}{\color{red}{ 1}}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \frac{2}{5}&=-\color{green}{ b}{ \small ,}\\[10px]-\frac{3}{25}&=\color{blue}{ c}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{green}{ b}&=\color{green}{ -\frac{2}{5}}{ \small ,}\\[10px]\color{blue}{ c}&=\color{blue}{ -\frac{3}{25}}{\small .} \end{aligned}\right. \)
Таким образом, исходное уравнение имеет вид
\(\displaystyle x^2\color{green}{ -\frac{2}{5}}x\color{blue}{ -\frac{3}{25}}=0 {\small .}\)
Домножая обе его части на \(\displaystyle 25{ \small ,} \) чтобы избавиться от дробей, получаем:
\(\displaystyle x^2\color{green}{ -\frac{2}{5}}x\color{blue}{ -\frac{3}{25}}=0\,\, | \cdot 25{ \small ,}\)
\(\displaystyle \color{red}{ 25}x^2\color{green}{ -10}x\color{blue}{ -3}=0{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \color{red}{ 25}x^2\color{green}{ -10}x\color{blue}{ -3}=0{\small .} \)