Найдите коэффициенты квадратного уравнения
\(\displaystyle x^2\)\(\displaystyle x\)\(\displaystyle =0\)
если известно, что числа \(\displaystyle 1-\sqrt{3}\) и \(\displaystyle 1+\sqrt{3}\) – его корни.
Запишем квадратное уравнение в общем виде:
\(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small .} \)
Заданное в условии уравнение имеет вид
\(\displaystyle x^2+...=0{\small .}\)
Перепишем это уравнение так, чтобы его старший коэффициент был записан в явном виде:
\(\displaystyle \color{red}{ 1}\cdot x^2+...=0{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{\small .} \)
Используем теорему Виета.
Теорема Виета
Если \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small .}\)
То для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ a}}{ \small ,}\\[10px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ c}}{\color{red}{ a}}{\small .}\end{aligned}\right. \)
Тогда, поскольку корни уравнения равны \(\displaystyle 1-\sqrt{3}\) и \(\displaystyle 1+\sqrt{3}{\small ,} \) то \(\displaystyle x_1=1-\sqrt{3}\) и \(\displaystyle x_2=1+\sqrt{3} {\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} (1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ 1}}{ \small ,}\\[10px](1-\sqrt{3})\cdot (1+\sqrt{3})&=\frac{ \color{blue}{ c}}{\color{red}{ 1}}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} 2&=-\color{green}{ b}{ \small ,}\\[5px]1^2-(\sqrt{3})^2 &=\color{blue}{ c}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{green}{ b}&=\color{green}{ -2}{ \small ,}\\\color{blue}{ c}&=\color{blue}{ -2}{\small .} \end{aligned}\right. \)
Таким образом, исходное уравнение имеет вид
\(\displaystyle x^2\color{green}{ -2}x\color{blue}{ -2}=0 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x^2\color{green}{ -2}x\color{blue}{ -2}=0 {\small .}\)