Пусть \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения
\(\displaystyle x^2-(\sqrt{3}+1)x-5=0{\small .}\)
Найдите сумму и произведение его корней:
По условию, \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-(\sqrt{3}+1)x-5=0{\small .} \)
Воспользуемся теоремой Виета.
Теорема Виета
Если \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small .}\)
То для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ a}}{ \small ,}\\[10px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ c}}{\color{red}{ a}}{\small.}\end{aligned}\right. \)
Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:
\(\displaystyle x^2-(\sqrt{3}+1)x-5=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -(\sqrt{3}+1)}x\color{blue}{ -5}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \,\color{green}{ b}=\color{green}{ -(\sqrt{3}+1)}, \,\color{blue}{ c}=\color{blue}{ -5}{\small .} \)
Значит, по теореме Виета
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ -(\sqrt{3}+1)}}{\color{red}{ 1}}=\sqrt{3}+1{ \small ,}\\[10px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ -5}}{\color{red}{ 1}}=-5{\small .}\end{aligned}\right. \)
| Ответ: | \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=\sqrt{3}+1{ \small ,}\\ x_1\cdot x_2&=-5{\small .} \end{aligned}\right. \) |