Skip to main content

Теория: Решение квадратного уравнения методом выделения полного квадрата

Задание

Выделите полный квадрат и найдите все корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle x^2-6x+3=0 {\small . }\)
 

  1. Равносильное уравнение после выделения полного квадрата:
    \(\displaystyle \Big(\)\(\displaystyle \Big)^2=\)
     
  2. Корни уравнения:
    \(\displaystyle x_{1}=\)
    3-\sqrt{6}
    ,   \(\displaystyle x_{2}=\)
    3+\sqrt{6}
Решение

1. Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.

Квадрат разности

Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-6x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 6x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot 3{\small .}\)

Сравним формулу и наше выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{3}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle b=3{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{3}^2=\color{green}{9}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{3}\,+\color{green}{9}{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому прибавим и вычтем в выражении \(\displaystyle x^2-6x \) число \(\displaystyle 9 \) так, чтобы в выражении

\(\displaystyle x^2-6x+3\)

получить полный квадрат:

\(\displaystyle \left(x^2-6x+\color{green}{9}\right)-\color{green}{ 9}+3=0{\small .}\)

Распишем квадрат разности слева явно:

\(\displaystyle \left(x^2-2\cdot x \cdot 3+\color{green}{3^2}\right)-6=0{\small . }\)

Сворачивая, получаем:

\(\displaystyle (x-3)^2-6=0;\)

\(\displaystyle (x-3)^2=6{\small . }\)

 

2. Решим полученное уравнение, воспользовавшись правилом для решения уравнения вида \(\displaystyle \color{red}{ X}^2=a{\small . } \)

Решение уравнения \(\displaystyle x^2=a \)

Считая, что \(\displaystyle \color{red}{ X}= x-3\) и \(\displaystyle a=6>0{\small , } \) получаем:

\(\displaystyle x-3= \sqrt{ 6} \) или \(\displaystyle x-3= -\sqrt{ 6} {\small . } \)

Значит,

\(\displaystyle x=3+ \sqrt{6} \) или \(\displaystyle x= 3- \sqrt{6}{\small . } \)

Ответ:\(\displaystyle (x-3)^2=6{\small ;}\)
 \(\displaystyle x_1=3+ \sqrt{6} {\small , }\) \(\displaystyle x_2= 3- \sqrt{6}{\small . } \)