Skip to main content

Теория: Решение квадратного уравнения методом выделения полного квадрата

Задание

Найдите все корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle -5x^2+35x-10=0{\small . }\)
 

\(\displaystyle x_{1}=\)
\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2}
,   \(\displaystyle x_{2}=\)
\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2}
Решение

На первом шаге избавимся от старшего коэффициента (коэффициент при \(\displaystyle x^2\)) у квадратного уравнения:

 \(\displaystyle -5x^2+35x-10=0{\small , }\)

разделим на \(\displaystyle -5\) обе части уравнения,

\(\displaystyle \frac{-5x^2}{5}+\frac{35x}{-5}-\frac{10}{-5}=\frac{0}{-5}{\small , }\)

\(\displaystyle x^2-7x+2=0{\small . }\)

Решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-7x+2=0\) методом выделения полного квадрата.

\(\displaystyle x^2-7x+2=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small . } \)

Воспользуемся правилом.

Правило

Квадрат разности

Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно

\(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-7x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 7x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{7}{2}{\small .}\)

Сравним формулу и наше выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{7}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle b=\frac{7}{2}{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\color{green}{\frac{49}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{2}\,+\color{green}{\frac{49}{4}}{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому прибавим и вычтем в выражении \(\displaystyle x^2-7x \) число \(\displaystyle \frac{49}{4}\) так, чтобы в выражении

\(\displaystyle x^2-7x+2\)

получить полный квадрат:

\(\displaystyle \left(x^2-7x+\color{green}{\frac{49}{4}}\right)-\color{green}{ \frac{49}{4}}+2=\left(x^2-2\cdot x \cdot \frac{7}{2}+\color{green}{\left(\frac{7}{2}\right)^2}\right)-\frac{41}{4}=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small . }\)

Значит, \(\displaystyle x^2-7x+2=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small . }\)

Так как \(\displaystyle x^2-7x+2=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small , }\) то уравнение

\(\displaystyle x^2-7x+2=0\)

равносильно уравнению

\(\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}=0\)

или

\(\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)^2=\frac{41}{4}{\small . }\)


Теперь воспользуемся следующим правилом:

Правило

Уравнение \(\displaystyle x^2=a\)

  • имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)

\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)

  • имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)

\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)

  • не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle x-\frac{7}{2}= \sqrt{ \frac{41}{4}} \) или \(\displaystyle x-\frac{7}{2}= -\sqrt{ \frac{41}{4}} {\small , } \)

то есть

\(\displaystyle x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2}\) или \(\displaystyle x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small ,} \)

\(\displaystyle x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2} \) или \(\displaystyle x= \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small .} \)

Таким образом,

\(\displaystyle x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2} \) или \(\displaystyle x= \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small .} \)

 

Ответ: \(\displaystyle x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2} \) или \(\displaystyle x= \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small .} \)